Rotasi

Memutar Titik pada Grafik Mengelilingi Pusat Rotasi

Rotasi adalah transformasi geometri yang memutar suatu objek terhadap titik pusat tertentu dengan sudut rotasi yang ditentukan. Dalam konteks fungsi, rotasi mengubah posisi grafik fungsi dengan cara memutar setiap titik pada grafik tersebut.

Bayangkan sebuah roda yang berputar. Setiap titik pada roda bergerak di sepanjang lingkaran yang berpusat di poros. Rotasi grafik bekerja serupa. Setiap titik bergerak mengelilingi pusat rotasi dengan jarak yang tetap.

Rumus Rotasi Terhadap Titik Pusat

Untuk merotasi titik $(x, y)$ terhadap pusat $(a, b)$ dengan sudut $\theta$ , hitung dahulu koordinat titik relatif terhadap pusat. Tuliskan kedua koordinat ini sebagai $u$ dan $v$ :

\begin{aligned} u &= x-a \\ v &= y-b \end{aligned}

Rotasikan koordinat relatif tersebut, lalu tambahkan kembali koordinat pusat. Penambahan $a$ pada koordinat horizontal dan $b$ pada koordinat vertikal membawa hasil rotasi ke sistem koordinat semula:

\begin{aligned} x' &= u\cos\theta-v\sin\theta+a \\ y' &= u\sin\theta+v\cos\theta+b \end{aligned}

Setiap simbol pada rumus tersebut berarti:

$(x, y)$ adalah koordinat titik asal
$(x', y')$ adalah koordinat titik hasil rotasi
$(a, b)$ adalah titik pusat rotasi
$\theta$ adalah sudut rotasi (positif untuk arah berlawanan jarum jam)

Rotasi Khusus Terhadap Titik Asal

Rotasi terhadap titik asal $(0, 0)$ adalah kasus yang paling sering kamu jumpai, karena mengganti $a = 0$ dan $b = 0$ menghapus suku translasi pada rumus umum. Yang tersisa hanyalah perubahan arah, dan tiga putaran seperempat berikut mencakup sebagian besar soal.

Setiap langkah di bawah adalah putaran seperempat berlawanan arah jarum jam, sehingga menerapkan aturannya dua kali menghasilkan putaran setengah dan tiga kali menghasilkan putaran tiga perempat.

Rotasi $90^\circ$

$(x, y) \rightarrow (-y, x)$
Rotasi $180^\circ$

$(x, y) \rightarrow (-x, -y)$
Rotasi $270^\circ$

$(x, y) \rightarrow (y, -x)$

Visualisasi Rotasi Fungsi Kuadrat

Memutar kurva berarti memutar setiap titiknya. Fungsi kuadrat $y = x^2$ memperlihatkan hal itu dengan jelas karena titik-titiknya berpasangan pada nilai yang sama, sehingga hasil rotasinya bisa kamu periksa langsung. Tampilan berikut memperlihatkan parabola asli dan hasil rotasi $90^\circ$ berlawanan arah jarum jam terhadap titik asal.

Rotasi Fungsi

y = x^2

Terhadap Titik Asal

Perbandingan fungsi asli dengan hasil rotasi

90^\circ

berlawanan arah jarum jam.

Sifat Rotasi Fungsi

Rotasi memindahkan grafik mengelilingi titik tetap tanpa mengubah ukurannya, jadi bentuk grafik tetap dan hanya orientasinya yang berubah. Tabel berikut merangkum apa yang tetap dan apa yang berubah.

Sifat	Yang terjadi	Alasannya
Bentuk	Bentuk grafik tidak berubah	Rotasi memindahkan setiap titik dengan sudut yang sama terhadap pusat yang sama
Jarak	Jarak antara dua titik tetap sama	Memutar dua titik terhadap satu pusat mempertahankan ruas yang menghubungkan keduanya
Sudut antar sisi	Sudut pada bangun tetap sama	Rotasi adalah gerak kaku, sehingga tidak pernah membengkokkan bangun
Orientasi	Grafik berputar ke arah baru	Setiap titik berubah posisinya terhadap pusat rotasi
Penggabungan	Dua rotasi terhadap pusat yang sama menjumlahkan sudutnya	Memutar sebesar $\theta_1$ lalu $\theta_2$ sama dengan satu putaran sebesar $\theta_1 + \theta_2$

Karena jarak dan sudut tidak pernah berubah, rotasi disebut gerak kaku. Satu fakta itu menjelaskan mengapa bentuk dan ukuran tetap, sedangkan posisi dan arah adalah satu-satunya bagian yang berpindah.

Penerapan Rotasi pada Berbagai Fungsi

Rotasi tidak memperlakukan setiap kurva dengan cara yang sama. Garis lurus dan kurva eksponensial sama-sama mempertahankan bentuknya, tetapi garis yang dirotasi tetap berupa garis lurus, sedangkan kurva eksponensial yang dirotasi berubah sumbu yang didekatinya. Dua kasus berikut menunjukkan perbedaan itu.

Rotasi Fungsi Linear

Pada fungsi linear $y = mx + c$ , setiap titik berpindah ke posisi baru, sehingga kemiringan dan posisi berubah bersamaan. Rotasi $45^\circ$ berlawanan arah jarum jam terhadap titik asal memperlihatkan bagaimana garis asli berubah menjadi garis kedua.

Rotasi Fungsi Linear

y = 2x + 1

Rotasi

45^\circ

terhadap titik asal.

Rotasi Fungsi Eksponensial

Kurva eksponensial juga dapat diputar titik demi titik. Setelah diputar, kurva tersebut belum tentu tetap menjadi grafik fungsi terhadap koordinat horizontal.

Rotasi Fungsi

y = 2^x

Rotasi

90^\circ

berlawanan arah jarum jam.

Langkah Menentukan Hasil Rotasi

Ketika kamu memutar seluruh kurva, rumus rotasi bekerja pada titik, sehingga pengerjaannya berjalan titik demi titik. Mulailah dengan menetapkan pusat dan sudut rotasi, karena keduanya muncul di setiap perhitungan berikutnya.

Setelah itu, pilih beberapa titik pada kurva asli, termasuk kedua ujungnya dan titik puncaknya, lalu terapkan rumus rotasi pada setiap titik. Gambar titik-titik hasil rotasi, hubungkan sesuai urutan aslinya, dan periksa beberapa titik tambahan di antara sampel. Hasilnya belum tentu tetap menjadi fungsi terhadap $x$ , karena dua titik hasil rotasi dapat memiliki nilai $x$ yang sama.

Latihan

Setiap soal berikut meminta satu rotasi, sehingga semuanya cukup diselesaikan dengan memasukkan pusat dan sudut ke rumus rotasi. Kerjakan titik demi titik dan perhatikan arah sudutnya, karena putaran berlawanan arah jarum jam dan searah jarum jam menghasilkan hasil yang berbeda. Kerjakan dulu tanpa melihat kunci, lalu bandingkan langkahmu dengan pembahasan di bawah.

Tentukan hasil rotasi titik $(3, 4)$ terhadap titik asal dengan sudut $90^\circ$ berlawanan arah jarum jam.
Fungsi $f(x) = x^2 - 2x + 1$ dirotasi $180^\circ$ terhadap titik asal. Tentukan koordinat titik puncak hasil rotasi jika titik puncak asli berada di $(1, 0)$ .
Garis $y = 3x - 2$ dirotasi $270^\circ$ terhadap titik asal. Tentukan persamaan garis hasil rotasi.
Titik $(2, 5)$ dirotasi $60^\circ$ terhadap titik $(1, 1)$ . Tentukan koordinat hasil rotasi.
Fungsi $y = \sqrt{x}$ untuk $x \geq 0$ dirotasi $90^\circ$ berlawanan arah jarum jam terhadap titik asal. Jelaskan bentuk grafik hasil rotasi.

Kunci Jawaban

Rotasi memakai pusat dan sudut rotasi yang diberikan, lalu memasukkan keduanya ke rumus rotasi. Titik hasilnya diperiksa kembali terhadap titik asli untuk memastikan jaraknya ke pusat rotasi tidak berubah.

Menggunakan rumus rotasi $90^\circ$ :
$(x, y) \rightarrow (-y, x)$
Jadi hasil rotasi adalah $(-4, 3)$ .

Visualisasi Rotasi Titik $(3, 4)$
Rotasi $90^\circ$ berlawanan arah jarum jam terhadap titik asal.
Titik puncak asli dirotasi $180^\circ$ :
$(x, y) \rightarrow (-x, -y)$
Koordinat titik puncak hasil rotasi adalah $(-1, 0)$ .

Rotasi Fungsi $f(x) = x^2 - 2x + 1$
Rotasi $180^\circ$ terhadap titik asal.
Ambil dua titik pada garis dan rotasi $270^\circ$ :
$(x, y) \rightarrow (y, -x)$
Maka persamaan garis hasil rotasi adalah $y = -\frac{1}{3}x - \frac{2}{3}$ .

Rotasi Garis $y = 3x - 2$
Rotasi $270^\circ$ terhadap titik asal.
Hitung dahulu koordinat titik $(2, 5)$ relatif terhadap pusat $(1, 1)$ :

$\begin{aligned} u &= 2-1=1 \\ v &= 5-1=4 \end{aligned}$

Masukkan kedua nilai tersebut dan sudut $60^\circ$ ke rumus rotasi. Kedua koordinat pusat bernilai $1$ , sehingga setiap rumus memuat penambahan $1$ :
$\begin{aligned} x' &= u\cos\theta-v\sin\theta+a \\ &= 1\cdot\frac{1}{2}-4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+1 \\ &= \frac{3}{2}-2\sqrt{3} \end{aligned}$
Koordinat hasil rotasi: $(\frac{3}{2} - 2\sqrt{3}, 3 + \frac{\sqrt{3}}{2})$

Rotasi Titik $(2, 5)$ Terhadap Titik $(1, 1)$
Rotasi $60^\circ$ berlawanan arah jarum jam.
Fungsi $y = \sqrt{x}$ dirotasi $90^\circ$ menjadi:
$x = -\sqrt{y}$
Kurva hasil rotasi adalah bagian kiri parabola yang terbuka ke atas. Domainnya $x \leq 0$ dan rangenya $y \geq 0$ . Kurva ini diperoleh dengan mencerminkan bagian kanan asli dari $y = x^2$ terhadap sumbu $y$ .

Rotasi Fungsi $y = \sqrt{x}$
Rotasi $90^\circ$ berlawanan arah jarum jam terhadap titik asal.

Memutar Titik pada Grafik Mengelilingi Pusat Rotasi

Rumus Rotasi Terhadap Titik Pusat

Untuk merotasi titik $(x, y)$ terhadap pusat $(a, b)$ dengan sudut $\theta$ , hitung dahulu koordinat titik relatif terhadap pusat. Tuliskan kedua koordinat ini sebagai $u$ dan $v$ :

\begin{aligned} u &= x-a \\ v &= y-b \end{aligned}

Rotasikan koordinat relatif tersebut, lalu tambahkan kembali koordinat pusat. Penambahan $a$ pada koordinat horizontal dan $b$ pada koordinat vertikal membawa hasil rotasi ke sistem koordinat semula:

\begin{aligned} x' &= u\cos\theta-v\sin\theta+a \\ y' &= u\sin\theta+v\cos\theta+b \end{aligned}

Setiap simbol pada rumus tersebut berarti:

$(x, y)$ adalah koordinat titik asal
$(x', y')$ adalah koordinat titik hasil rotasi
$(a, b)$ adalah titik pusat rotasi
$\theta$ adalah sudut rotasi (positif untuk arah berlawanan jarum jam)

Rotasi Khusus Terhadap Titik Asal

Setiap langkah di bawah adalah putaran seperempat berlawanan arah jarum jam, sehingga menerapkan aturannya dua kali menghasilkan putaran setengah dan tiga kali menghasilkan putaran tiga perempat.

Rotasi $90^\circ$

$(x, y) \rightarrow (-y, x)$
Rotasi $180^\circ$

$(x, y) \rightarrow (-x, -y)$
Rotasi $270^\circ$

$(x, y) \rightarrow (y, -x)$

Visualisasi Rotasi Fungsi Kuadrat

Rotasi Fungsi

y = x^2

Terhadap Titik Asal

Perbandingan fungsi asli dengan hasil rotasi

90^\circ

berlawanan arah jarum jam.

Sifat Rotasi Fungsi

Rotasi memindahkan grafik mengelilingi titik tetap tanpa mengubah ukurannya, jadi bentuk grafik tetap dan hanya orientasinya yang berubah. Tabel berikut merangkum apa yang tetap dan apa yang berubah.

Sifat	Yang terjadi	Alasannya
Bentuk	Bentuk grafik tidak berubah	Rotasi memindahkan setiap titik dengan sudut yang sama terhadap pusat yang sama
Jarak	Jarak antara dua titik tetap sama	Memutar dua titik terhadap satu pusat mempertahankan ruas yang menghubungkan keduanya
Sudut antar sisi	Sudut pada bangun tetap sama	Rotasi adalah gerak kaku, sehingga tidak pernah membengkokkan bangun
Orientasi	Grafik berputar ke arah baru	Setiap titik berubah posisinya terhadap pusat rotasi
Penggabungan	Dua rotasi terhadap pusat yang sama menjumlahkan sudutnya	Memutar sebesar $\theta_1$ lalu $\theta_2$ sama dengan satu putaran sebesar $\theta_1 + \theta_2$

Penerapan Rotasi pada Berbagai Fungsi

Rotasi Fungsi Linear

y = 2x + 1

Rotasi

45^\circ

terhadap titik asal.

Rotasi Fungsi Eksponensial

Kurva eksponensial juga dapat diputar titik demi titik. Setelah diputar, kurva tersebut belum tentu tetap menjadi grafik fungsi terhadap koordinat horizontal.

Rotasi Fungsi

y = 2^x

Rotasi

90^\circ

berlawanan arah jarum jam.

Langkah Menentukan Hasil Rotasi

Latihan

Tentukan hasil rotasi titik $(3, 4)$ terhadap titik asal dengan sudut $90^\circ$ berlawanan arah jarum jam.
Fungsi $f(x) = x^2 - 2x + 1$ dirotasi $180^\circ$ terhadap titik asal. Tentukan koordinat titik puncak hasil rotasi jika titik puncak asli berada di $(1, 0)$ .
Garis $y = 3x - 2$ dirotasi $270^\circ$ terhadap titik asal. Tentukan persamaan garis hasil rotasi.
Titik $(2, 5)$ dirotasi $60^\circ$ terhadap titik $(1, 1)$ . Tentukan koordinat hasil rotasi.
Fungsi $y = \sqrt{x}$ untuk $x \geq 0$ dirotasi $90^\circ$ berlawanan arah jarum jam terhadap titik asal. Jelaskan bentuk grafik hasil rotasi.

Kunci Jawaban

Menggunakan rumus rotasi $90^\circ$ :
$(x, y) \rightarrow (-y, x)$
Jadi hasil rotasi adalah $(-4, 3)$ .

Visualisasi Rotasi Titik $(3, 4)$
Rotasi $90^\circ$ berlawanan arah jarum jam terhadap titik asal.
Titik puncak asli dirotasi $180^\circ$ :
$(x, y) \rightarrow (-x, -y)$
Koordinat titik puncak hasil rotasi adalah $(-1, 0)$ .

Rotasi Fungsi $f(x) = x^2 - 2x + 1$
Rotasi $180^\circ$ terhadap titik asal.
Ambil dua titik pada garis dan rotasi $270^\circ$ :
$(x, y) \rightarrow (y, -x)$
Maka persamaan garis hasil rotasi adalah $y = -\frac{1}{3}x - \frac{2}{3}$ .

Rotasi Garis $y = 3x - 2$
Rotasi $270^\circ$ terhadap titik asal.
Hitung dahulu koordinat titik $(2, 5)$ relatif terhadap pusat $(1, 1)$ :

$\begin{aligned} u &= 2-1=1 \\ v &= 5-1=4 \end{aligned}$

Masukkan kedua nilai tersebut dan sudut $60^\circ$ ke rumus rotasi. Kedua koordinat pusat bernilai $1$ , sehingga setiap rumus memuat penambahan $1$ :
$\begin{aligned} x' &= u\cos\theta-v\sin\theta+a \\ &= 1\cdot\frac{1}{2}-4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+1 \\ &= \frac{3}{2}-2\sqrt{3} \end{aligned}$
Koordinat hasil rotasi: $(\frac{3}{2} - 2\sqrt{3}, 3 + \frac{\sqrt{3}}{2})$

Rotasi Titik $(2, 5)$ Terhadap Titik $(1, 1)$
Rotasi $60^\circ$ berlawanan arah jarum jam.
Fungsi $y = \sqrt{x}$ dirotasi $90^\circ$ menjadi:
$x = -\sqrt{y}$
Kurva hasil rotasi adalah bagian kiri parabola yang terbuka ke atas. Domainnya $x \leq 0$ dan rangenya $y \geq 0$ . Kurva ini diperoleh dengan mencerminkan bagian kanan asli dari $y = x^2$ terhadap sumbu $y$ .

Rotasi Fungsi $y = \sqrt{x}$
Rotasi $90^\circ$ berlawanan arah jarum jam terhadap titik asal.