Dilatasi Vertikal

Mengalikan Nilai Fungsi dengan Faktor Skala

Dilatasi vertikal mengubah tinggi grafik fungsi tanpa menggeser posisi horizontalnya. Grafik yang diregangkan menjadi lebih tinggi, grafik yang dimampatkan mendekat ke sumbu $x$, dan setiap titik mempertahankan nilai $x$ aslinya.

Untuk fungsi $f(x)$, dilatasi vertikal menghasilkan $g(x) = k \cdot f(x)$. Di sini $k \ne 0$ adalah faktor yang mengalikan setiap nilai keluaran.

Cara Faktor Keluaran Mengubah Tinggi

Untuk setiap fungsi $f(x)$ dan faktor tak nol $k$, dilatasi vertikal didefinisikan sebagai:

Faktor $k$ menentukan apa yang terjadi pada tinggi grafik:

• Jika $k > 1$, grafik diregangkan secara vertikal (diperbesar)
• Jika $0 < k < 1$, grafik ditekan secara vertikal (diperkecil)
• Jika $k = 1$, grafik tidak berubah
• Jika $k < 0$, grafik mengalami refleksi sekaligus dilatasi

Nilai $k = 0$ tidak termasuk karena semua nilai keluaran menjadi $0$. Seluruh grafik kemudian runtuh ke sumbu $x$.

Di sini faktornya bekerja sesuai dengan arah yang kamu duga. Faktor yang lebih besar dari satu membuat grafik lebih tinggi, sedangkan faktor di antara nol dan satu membuat grafik lebih pendek.

Visualisasi Dilatasi Vertikal

Fungsi kuadrat $f(x) = x^2$ menunjukkan bagaimana beberapa faktor skala mengubah jarak vertikal dari sumbu $x$.

Grafik tersebut menunjukkan:

• Fungsi asli $f(x) = x^2$ sebagai referensi
• Fungsi $g(x) = 2x^2$ diregangkan vertikal dengan faktor $2$
• Fungsi $h(x) = 0{,}5x^2$ ditekan vertikal dengan faktor $0{,}5$
• Semua grafik memiliki titik puncak yang sama di $(0, 0)$

Dilatasi Vertikal pada Fungsi Linear

Aturan yang sama berlaku pada fungsi linear $f(x) = x + 1$.

Ketiga garis menunjukkan:

• Fungsi asli $f(x) = x + 1$ memiliki kemiringan $1$
• Fungsi $g(x) = 3(x + 1)$ memiliki kemiringan $3$ (diregangkan)
• Fungsi $h(x) = 0{,}5(x + 1)$ memiliki kemiringan $0{,}5$ (ditekan)
• Semua garis masih memotong sumbu $y$, tetapi di titik yang berbeda

Nilai Mana yang Bergeser pada Skala Vertikal

Setelah kamu tahu apakah grafik menjadi lebih tinggi atau lebih pendek, kamu perlu tahu nilai mana yang ikut berpindah. Dilatasi vertikal mengalikan setiap nilai keluaran dengan faktor $k$, jadi tinggi grafik berubah sedangkan posisi sepanjang sumbu $x$ tetap.

Ambil titik $(a, b)$ pada grafik $f(x)$. Titik yang bersesuaian pada grafik $k \cdot f(x)$ adalah $(a, k \cdot b)$. Koordinat $x$ tetap $a$ karena dilatasi vertikal tidak pernah menggeser titik secara horizontal.

Range ikut meregang atau menyusut bersama grafik karena range memuat nilai keluaran, sedangkan domain tetap karena batas nilai masukan tidak berubah. Dilatasi horizontal membagi koordinat horizontal dan membiarkan tinggi grafik tetap.

Mengalikan Nilai Fungsi Eksponensial

Pada fungsi eksponensial $f(x) = 2^x$, faktor skala mengalikan setiap nilai fungsi.

Pada fungsi eksponensial:

• Asimtot horizontal tetap di $y = 0$ untuk kedua fungsi
• Titik potong dengan sumbu $y$ berubah dari $(0, 1)$ menjadi $(0, 2)$
• Setiap nilai fungsi menjadi dua kali lipat, sedangkan basis eksponensial dan laju pertumbuhan relatif tetap sama

Dilatasi Vertikal dengan Faktor Negatif

Faktor skala negatif menggabungkan penskalaan vertikal dengan pencerminan terhadap sumbu $x$.

Ketika faktor skala negatif:

• Grafik mengalami refleksi terhadap sumbu $x$
• Sekaligus mengalami dilatasi sesuai nilai absolut faktor skala
• Parabola yang membuka ke atas menjadi membuka ke bawah

Latihan

Tiga soal berikut memakai aturan tinggi grafik yang baru saja kamu pelajari. Setiap soal mengalikan nilai keluaran dengan faktor tertentu, jadi perhatikan apakah faktornya lebih besar dari satu, di antara nol dan satu, atau negatif. Kerjakan dulu tanpa melihat kunci, lalu bandingkan langkahmu dengan pembahasan di bawah.

1. Diberikan fungsi $f(x) = x^2 - 4x + 3$. Tentukan persamaan fungsi hasil dilatasi vertikal dengan faktor skala $3$.

2. Grafik fungsi $g(x) = \sqrt{x}$ mengalami dilatasi vertikal dengan faktor $\frac{1}{2}$. Tentukan persamaan fungsi hasilnya, lalu tentukan range fungsi tersebut.

3. Fungsi $h(x) = |x - 1| + 2$ mengalami dilatasi vertikal dengan faktor $-1$. Tentukan titik puncak dari fungsi hasil dilatasi.

Kunci Jawaban

Dilatasi vertikal mengalikan seluruh bentuk keluaran dengan faktor, karena di situlah letak aturan tingginya. Persamaannya lalu disederhanakan dan grafik barunya diperiksa untuk memastikan apakah grafik menjadi lebih tinggi atau lebih pendek.

1. Dilatasi vertikal dengan faktor $3$: $f'(x) = 3f(x) = 3(x^2 - 4x + 3) = 3x^2 - 12x + 9$

   Fungsi $f(x) = x^2 - 4x + 3$ dan Hasil Dilatasinya

   Parabola asli diregangkan vertikal dengan faktor $3$ menghasilkan parabola yang lebih tinggi.

   KisiRotasi otomatis

2. Persamaan fungsi hasil dilatasi:

   • Dilatasi vertikal: $g'(x) = \frac{1}{2}g(x) = \frac{1}{2}\sqrt{x}$
   • Range setelah dilatasi: $[0, \infty)$ tetap $[0, \infty)$. Pada setiap input, nilai fungsi positif menjadi setengahnya

   Visualisasi:

   Fungsi $g(x) = \sqrt{x}$ dan Hasil Dilatasinya

   Kurva akar kuadrat ditekan vertikal dengan faktor $0{,}5$ menghasilkan kurva yang lebih rendah.

   KisiRotasi otomatis

3. Fungsi asli $h(x) = |x - 1| + 2$ memiliki titik puncak di $(1, 2)$. Setelah dilatasi vertikal dengan faktor $-1$: $h'(x) = -1 \cdot (|x - 1| + 2) = -|x - 1| - 2$, titik puncak menjadi $(1, -2)$.

   Fungsi $h(x) = |x - 1| + 2$ dan Hasil Dilatasinya

   Faktor $-1$ mencerminkan fungsi nilai mutlak terhadap sumbu $x$ tanpa mengubah skala vertikalnya.

   KisiRotasi otomatis