Translasi Vertikal

Menggeser Grafik ke Atas atau Bawah

Translasi vertikal menggeser grafik fungsi ke atas atau ke bawah sepanjang sumbu $y$ tanpa mengubah bentuknya. Setiap titik berpindah sejauh jarak vertikal yang sama, seolah seluruh grafik diangkat atau diturunkan.

Jika kamu memiliki fungsi $f(x)$ , translasi vertikal menghasilkan fungsi baru $g(x) = f(x) + k$ . Konstanta $k$ menentukan arah dan jarak pergeserannya.

Aturan Tanda pada Translasi Vertikal

Perhatikan letak $k$ pada rumus berikut. Nilai itu ditulis di luar fungsi, jadi ditambahkan pada hasil keluaran yang sudah selesai dihitung.

g(x) = f(x) + k

Karena $k$ ditambahkan pada keluaran, tandanya bekerja sesuai dengan arah yang kamu baca. Nilai $k$ positif mengangkat grafik, sedangkan nilai negatif menurunkannya.

Nilai $k$	Pergeseran grafik	Contoh titik puncak
$k > 0$	Ke atas sebesar $k \text{ satuan}$	$(0,0)$ menjadi $(0,k)$
$k < 0$	Ke bawah sebesar $\lvert k \rvert \text{ satuan}$	$(0,0)$ menjadi $(0,k)$
$k = 0$	Grafik tidak bergeser	$(0,0)$ tetap di tempatnya

Ketiga baris itu memakai titik puncak $(0,0)$ sebagai patokan supaya arah pergeseran mudah dibandingkan. Untuk fungsi dengan titik acuan lain, seluruh titik berpindah dengan besar dan arah yang sama.

Visualisasi Translasi Vertikal

Fungsi linear $f(x) = 2x$ menunjukkan bahwa translasi vertikal tidak mengubah gradien.

Translasi Vertikal Fungsi Linear

f(x) = 2x

Ketiga garis memiliki gradien yang sama dan titik potong sumbu

y

yang berbeda.

Grafik tersebut menunjukkan:

Fungsi asli $f(x) = 2x$ melewati titik asal
Fungsi $g(x) = 2x + 3$ adalah hasil translasi ke atas $3 \text{ satuan}$
Fungsi $h(x) = 2x - 2$ adalah hasil translasi ke bawah $2 \text{ satuan}$

Translasi Vertikal pada Fungsi Kuadrat

Aturan translasi yang sama berlaku pada fungsi kuadrat $f(x) = x^2$ .

Translasi Vertikal Fungsi Kuadrat

f(x) = x^2

Bentuk parabola tetap sama, hanya posisi vertikalnya yang berubah.

Titik-titik puncaknya memperjelas perpindahan:

Titik puncak parabola asli $f(x) = x^2$ berada di $(0, 0)$
Setelah translasi vertikal $+4$ , titik puncak $g(x) = x^2 + 4$ berada di $(0, 4)$
Setelah translasi vertikal $-3$ , titik puncak $h(x) = x^2 - 3$ berada di $(0, -3)$

Nilai Mana yang Bergeser pada Translasi Vertikal

Setelah arah pergeseran dipahami, kamu perlu tahu bagian mana dari fungsi yang ikut berubah. Translasi vertikal bekerja pada keluaran fungsi, jadi tinggi grafik bergeser, sedangkan batas nilai $x$ tetap.

Ambil titik $(a, b)$ yang berada pada grafik $f(x)$ . Setelah translasi sebesar $k$ , titik itu berpindah ke $(a, b + k)$ pada grafik $f(x) + k$ . Koordinat $x$ tidak berubah, yang bergeser hanya nilai $y$ .

Bagian fungsi	Sebelum translasi	Setelah translasi $k$
Bentuk grafik	Bentuk asli	Sama, hanya bergeser vertikal
Titik $(a, b)$	Pada grafik $f(x)$	Berpindah ke $(a, b + k)$
Domain	Selang asli	Tetap sama seperti fungsi asli
Range $[c, d]$	Selang asli	Berpindah menjadi $[c + k, d + k]$

Jadi range bergeser bersama grafik karena range menyatakan tinggi nilai keluaran, sedangkan domain tidak berubah karena batas nilai $x$ tetap. Untuk translasi horizontal, keduanya bertukar peran: domain bergeser dan range yang tetap.

Menggeser Grafik Eksponensial secara Vertikal

Pada fungsi eksponensial $f(x) = 2^x$ , translasi vertikal juga memindahkan asimtot horizontal.

Translasi Vertikal Fungsi Eksponensial

f(x) = 2^x

Kurva eksponensial mempertahankan karakteristiknya setelah translasi vertikal.

Asimtot horizontal di $y = 0$ pada $f(x) = 2^x$ berpindah menjadi garis $y = k$ pada $f(x) + k$ . Berbeda dari translasi horizontal, pergeseran ini mengubah tinggi yang didekati kurva, karena asimtotnya tidak lagi menempel pada sumbu $x$ .

Titik potong dengan sumbu $y$ berpindah dari $(0, 1)$ menjadi $(0, 1 + k)$ . Koordinat $x$ titik itu tetap nol karena grafik hanya bergerak secara vertikal.

Latihan

Tiga soal berikut memakai aturan tanda yang baru saja kamu pelajari. Setiap soal menambahkan konstanta pada keluaran fungsi, jadi perhatikan nilai $k$ pada tiap fungsi. Kerjakan dulu tanpa melihat kunci, lalu bandingkan langkahmu dengan pembahasan di bawah.

Diberikan fungsi $f(x) = x^2 + 4x + 3$ . Tentukan persamaan fungsi hasil translasi vertikal ke atas sebesar $5 \text{ satuan}$ .
Grafik fungsi $g(x) = 3x + 2$ ditranslasi vertikal ke bawah sebesar $7 \text{ satuan}$ . Tentukan persamaan fungsi hasil translasi, lalu tentukan titik potong dengan sumbu $y$ setelah translasi.
Fungsi $h(x) = \sqrt{x}$ mengalami translasi vertikal sehingga titik $(4, 2)$ menjadi $(4, 5)$ . Tentukan nilai konstanta translasi dan persamaan fungsi hasil translasi.

Kunci Jawaban

Translasi vertikal menambah konstanta pada seluruh keluaran fungsi. Setelah persamaannya diperoleh, grafik barunya diperiksa untuk memastikan arah pergeserannya sudah sesuai.

Translasi vertikal ke atas $5 \text{ satuan}$ : $f'(x) = f(x) + 5 = x^2 + 4x + 3 + 5 = x^2 + 4x + 8$

Fungsi $f(x) = x^2 + 4x + 3$ dan Hasil Translasinya
Fungsi kuadrat asli dan hasil translasi vertikal ke atas $5 \text{ satuan}$ .
Persamaan fungsi hasil translasi:
- Translasi ke bawah $7 \text{ satuan}$ : $g'(x) = g(x) - 7 = 3x + 2 - 7 = 3x - 5$
- Titik potong dengan sumbu $y$ : substitusi $x = 0$ ke $g'(x) = 3(0) - 5 = -5$ , jadi titik potongnya adalah $(0, -5)$
Visualisasi:

Fungsi $g(x) = 3x + 2$ dan Hasil Translasinya
Fungsi linear asli dan hasil translasi vertikal ke bawah $7 \text{ satuan}$ .
Titik $(4, 2)$ pada $h(x) = \sqrt{x}$ menjadi $(4, 5)$ , berarti translasi vertikal sebesar $k = 5 - 2 = 3 \text{ satuan}$ ke atas. Persamaan hasil translasi: $h'(x) = \sqrt{x} + 3$

Fungsi $h(x) = \sqrt{x}$ dan Hasil Translasinya
Fungsi akar kuadrat asli dan hasil translasi vertikal ke atas $3 \text{ satuan}$ .