Dilatasi

Mengubah Ukuran Bangun dengan Faktor Skala

Dilatasi adalah transformasi geometri yang mengubah ukuran suatu objek (memperbesar atau memperkecil) tanpa mengubah bentuknya. Setiap titik pada objek dipetakan ke posisi baru berdasarkan titik pusat dilatasi dan faktor skala.

Definisi Formal Dilatasi

Misalkan $C$ adalah pusat dilatasi dan $k \neq 0$ adalah faktor skala. Dilatasi $D_{(C,k)}$ memetakan titik $A$ ke bayangan $A' = D_{(C,k)}(A)$ dan memenuhi $\vec{CA'} = k \cdot \vec{CA}$. Hubungan itu berlaku untuk setiap titik $A$, sementara pusat $C$ tidak pernah berpindah karena $\vec{CC}$ selalu berupa vektor nol.

Artinya, $\vec{CA'}$ adalah $k$ kali $\vec{CA}$.

• Jika $|k| > 1$, terjadi perbesaran.
• Jika $0 < |k| < 1$, terjadi pengecilan.
• Jika $k > 0$, titik awal dan bayangannya berada pada sisi yang sama dari pusat dilatasi.
• Jika $k < 0$, titik awal dan bayangannya berada pada sisi yang berlawanan dari pusat dilatasi. Arah vektor dari pusat ke bayangan berlawanan dengan arah vektor dari pusat ke titik awal.

Dilatasi terhadap Titik Asal

Jika pusat dilatasi adalah titik asal $O(0,0)$ dan faktor skala adalah $k$, maka untuk sebuah titik $A(x,y)$, bayangannya $A'(x',y')$ diberikan oleh:

Mendilatasikan Sebuah Titik terhadap Titik Asal

Jika titik $A(1,2)$ didilatasi terhadap titik asal $(0,0)$ dengan faktor $2$, tentukan bayangan titik tersebut.

Di sini, $x=1$, $y=2$, dan $k=2$.

Pusat dilatasi $O(0,0)$.

Jadi, bayangannya adalah $A'(2,4)$.

Dilatasi terhadap Titik Sembarang

Jika pusat dilatasi adalah titik sembarang $C(a,b)$ dan faktor skala adalah $k$, maka untuk sebuah titik $A(x,y)$, bayangannya $A'(x',y')$ diberikan oleh:

Rumus ini dapat diterapkan dengan menggeser koordinat agar $C$ menjadi titik asal, melakukan dilatasi dengan faktor $k$, lalu menggeser koordinat kembali.

Mendilatasikan Sebuah Titik terhadap Titik Sembarang

Jika titik $C(5,2)$ didilatasi terhadap titik $P(2,3)$ dengan faktor $2$, tentukan bayangan titik tersebut.

Di sini, titik yang akan didilatasi adalah $C(5,2)$ jadi $x=5, y=2$.

Pusat dilatasi adalah $P(2,3)$, jadi $a=2, b=3$.

Faktor skala $k=2$.

Jadi, bayangannya adalah $C'(8,1)$.

Latihan

Dua soal pertama mendilatasi satu titik, pertama terhadap titik asal lalu terhadap pusat yang berbeda. Soal ketiga mendilatasi seluruh segitiga dengan faktor negatif, sehingga bayangannya berada di sisi berlawanan dari pusat.

1. Tentukan bayangan $B(2,5)$ oleh dilatasi $D_{(O,3)}$ (pusat di $O(0,0)$, faktor $3$).
2. Tentukan bayangan $B(2,5)$ oleh dilatasi dengan pusat $P(1,3)$ dan faktor $3$.
3. Sebuah segitiga dengan titik sudut $A(1,1)$, $B(3,1)$, dan $C(1,4)$ didilatasi terhadap titik asal $O(0,0)$ dengan faktor skala $k=-2$. Tentukan koordinat bayangan segitiga $A'B'C'$!

Pembahasan

1. Titik $B(2,5)$, pusat $O(0,0)$, $k=3$.

   $$x' = 3 \cdot 2 = 6$$

   $$y' = 3 \cdot 5 = 15$$

   Jadi, bayangannya $B'(6,15)$.

2. Titik $B(2,5)$, pusat $P(1,3)$, $k=3$. ($x=2, y=5, a=1, b=3$)

   $$\begin{aligned} x' &= 1 + 3(2 - 1) \\ &= 1 + 3(1) \\ &= 1 + 3 \\ &= 4 \end{aligned}$$

   $$\begin{aligned} y' &= 3 + 3(5 - 3) \\ &= 3 + 3(2) \\ &= 3 + 6 \\ &= 9 \end{aligned}$$

   Jadi, bayangannya $B'(4,9)$.

3. Pusat $O(0,0)$, $k=-2$.

   • Untuk $A(1,1)$: $A'(-2 \cdot 1, -2 \cdot 1) = A'(-2,-2)$.
   • Untuk $B(3,1)$: $B'(-2 \cdot 3, -2 \cdot 1) = B'(-6,-2)$.
   • Untuk $C(1,4)$: $C'(-2 \cdot 1, -2 \cdot 4) = C'(-2,-8)$.

   Koordinat bayangan segitiga: $A'(-2,-2)$, $B'(-6,-2)$, $C'(-2,-8)$.