Matriks Dilatasi

Menentukan Entri Matriks dari Koordinat Hasil Dilatasi

Bagaimana menemukan matriks yang berkaitan dengan operasi dilatasi? Ingat kembali bahwa titik $(x,y)$ dipetakan oleh dilatasi dengan faktor $k \neq 0$ dan pusat $O$ ke $(kx,ky)$.

Misalkan, matriks yang ingin kita cari adalah:

Carilah $r, s, t, u$ sedemikian rupa sehingga memenuhi

Dari perkalian matriks di sisi kiri, kita dapatkan:

Dengan menyamakan komponen yang bersesuaian:

• Baris pertama: $rx + sy = kx$. Agar persamaan ini berlaku untuk semua $x$ dan $y$, maka koefisien $x$ harus sama dan koefisien $y$ harus sama. Jadi, $r = k$ dan $s = 0$.
• Baris kedua: $tx + uy = ky$. Dengan cara yang sama, $t = 0$ dan $u = k$.

Matriks Dilatasi terhadap Titik Pusat

Matriks yang terkait dengan dilatasi dengan faktor $k \neq 0$ oleh titik pusat $O(0,0)$ adalah

Operasi Matriks terkait Dilatasi terhadap Sebarang Titik

Titik $(x,y)$ yang didilatasikan dengan faktor $k \neq 0$ dan pusat $(a,b)$ akan dipetakan ke $(k(x-a)+a,\, k(y-b)+b)$.

Setelah koordinat pusat dikurangkan, vektor posisinya menjadi:

Carilah operasi matriks yang mengubah vektor ini menjadi bayangan yang kita cari:

Operasi matriks yang terkait dengan dilatasi dengan faktor $k \neq 0$ oleh titik $(a,b)$ adalah

Bentuk yang setara adalah:

Mencari Bayangan Hasil Dilatasi dengan Matriks

Tentukan bayangan titik $A(2,4)$ yang ditransformasikan oleh dilatasi dengan faktor $2$ oleh titik pusat $P(1,1)$!

Penyelesaian:

Diketahui $x=2, y=4, k=2, a=1, b=1$.

Jadi, bayangan titik $A(2,4)$ adalah $A'(3,7)$.

Latihan

Setiap soal menyusun matriks dilatasi atau memakainya. Faktor skala menentukan seberapa jauh bayangan bergerak dari pusat, sedangkan soal ketiga memindahkan pusat dari titik asal sehingga langkah translasi juga diperlukan.

1. Carilah koordinat bayangan titik $(a,b)$ oleh dilatasi $[O,3]$!
2. Tentukan matriks yang bersesuaian dengan dilatasi dengan faktor skala $-2$ dan pusat di $O(0,0)$.
3. Sebuah titik $B(-1, 5)$ didilatasikan dengan pusat $P(2, -3)$ dan faktor skala $k = \frac{1}{2}$. Tentukan koordinat bayangan titik $B$!
4. Sebuah segitiga $KLM$ dengan titik sudut $K(1,1)$, $L(5,1)$, dan $M(3,4)$ didilatasikan dengan pusat $O(0,0)$ dan faktor skala $2$. Gambarkan segitiga asli dan bayangannya, lalu tentukan koordinat titik-titik bayangannya!

Pembahasan

1. Dilatasi $[O,3]$ berarti pusat dilatasi adalah $O(0,0)$ dan faktor skala $k=3$.

   Misalkan titiknya adalah $Q(a,b)$.

   Maka $x=a, y=b, k=3$.

   $$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3a \\ 3b \end{pmatrix}$$

   Jadi, koordinat bayangan titik $(a,b)$ adalah $(3a, 3b)$.

2. Faktor skala $k=-2$, pusat $O(0,0)$.

   Matriks dilatasinya adalah:

   $$\begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$$

3. Titik $B(-1, 5)$, pusat $P(2, -3)$, faktor skala $k = \frac{1}{2}$.

   $x=-1, y=5, a=2, b=-3, k=\frac{1}{2}$.

   $$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1-2 \\ 5-(-3) \end{pmatrix} \\ &\quad{}+ \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

   $$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -3 \\ 8 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$$

   Hitung kedua koordinat, termasuk vektor translasinya:

   $$\begin{aligned} &x'=(\frac12)(-3)+(0)(8)+2 \\ &y'=(0)(-3)+(\frac12)(8)-3 \end{aligned}$$

   $$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -\frac{3}{2} \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -\frac{3}{2} + \frac{4}{2} \\ 4 - 3 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

   Koordinat bayangan titik $B$ adalah $B'(\frac{1}{2}, 1)$.

4. Segitiga $KLM$ dengan $K(1,1)$, $L(5,1)$, $M(3,4)$.

   Pusat $O(0,0)$, $k=2$.

   Bayangan titik $K(1,1)$:

   $$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x_K' \\ y_K' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} \\ &\implies K'(2,2) \end{aligned}$$

   Bayangan titik $L(5,1)$:

   $$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x_L' \\ y_L' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 10 \\ 2 \end{pmatrix} \\ &\implies L'(10,2) \end{aligned}$$

   Bayangan titik $M(3,4)$:

   $$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x_M' \\ y_M' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 6 \\ 8 \end{pmatrix} \\ &\implies M'(6,8) \end{aligned}$$

   Visualisasi Dilatasi Segitiga $KLM$ dengan Pusat $O(0,0)$ dan Faktor Skala $k=2$

   Segitiga $KLM$ didilatasikan menjadi segitiga $K'L'M'$. Titik pusat dilatasi $O(0,0)$.

   KisiRotasi otomatis