Kaitan Matriks dengan Transformasi

Matriks Mengubah Koordinat Titik

Matriks $2 \times 2$ mendefinisikan transformasi linear pada bidang Kartesius. Matriks seperti ini selalu memetakan titik asal ke dirinya sendiri, sehingga translasi dengan vektor bukan nol memerlukan penjumlahan vektor atau koordinat homogen.

Titik pada bidang Kartesius dapat ditulis sebagai pasangan terurut $(x,y)$ atau sebagai vektor posisi:

Bentuk vektor posisi ini digunakan untuk menyatakan transformasi melalui perkalian matriks.

Perhatikan transformasi dengan matriks $M$ berikut:

Bayangan $P'(x',y')$ dari titik $P(x,y)$ diperoleh melalui perkalian matriks:

Sehingga, $x' = ax + by$ dan $y' = cx + dy$.

Mengalikan Sebuah Matriks dengan Sebuah Vektor Posisi

Vektor berikut menyatakan sembarang titik pada bidang Kartesius:

Hitung hasil perkalian berikut dan tentukan transformasinya:

Penyelesaian:

Hasil kali matriks tersebut adalah:

Matriks $R_{90^\circ}$ memetakan $(x,y)$ ke $(-y,x)$, sehingga titik berotasi $90^\circ$ berlawanan arah jarum jam terhadap titik asal:

Mengalikan Sebuah Matriks dengan Tiga Buah Titik Sekaligus

Carilah bayangan $\triangle ABC$, dengan titik sudut $A(1,1)$, $B(4,1)$, dan $C(4,2)$ yang ditransformasikan dengan matriks:

Penyelesaian:

Pertama, tuliskan koordinat titik-titik sebagai kolom matriks:

Ketiga kolom berturut-turut mewakili $A$, $B$, dan $C$.

Selanjutnya, kalikan dari kiri matriks itu dengan:

Hitung setiap entri dengan mengalikan baris dan kolom:

Hasil transformasinya adalah sebuah segitiga baru $\triangle A'B'C'$ dengan titik-titik sudut $A'(-1,-1)$, $B'(-4,-1)$, dan $C'(-4,-2)$.

Matriks $R_{180^\circ}$ menyatakan rotasi $180^\circ$ terhadap titik asal:

Latihan

1. Hitung hasil perkalian matriks berikut. Transformasi apa yang dinyatakan oleh matriks ini?

   $$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$

2. Suatu transformasi memiliki matriks berikut:

   $$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

   Carilah bayangan segitiga dengan titik sudut $A(2,0)$, $B(2,1)$, dan $C(0,1)$ oleh transformasi tersebut.

Pembahasan

1. $$\begin{aligned} &\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} (0)(x) + (1)(y) \\ (-1)(x) + (0)(y) \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} y \\ -x \end{pmatrix} \end{aligned}$$

   Titik $(x,y)$ ditransformasikan menjadi $(y,-x)$.

   Ini adalah rotasi $90^\circ$ searah jarum jam, yang setara dengan rotasi $270^\circ$ berlawanan arah jarum jam terhadap titik asal.

2. Matriks transformasi:

   $$M = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

   Titik-titik sudut: $A(2,0)$, $B(2,1)$, $C(0,1)$.

   Matriks titik:

   $$\begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$

   Hitung setiap entri dengan mengalikan baris dan kolom:

   $$\begin{aligned} &m_{11}=(1)(2)+(2)(0) \\ &m_{12}=(1)(2)+(2)(1) \\ &m_{13}=(1)(0)+(2)(1) \\ &m_{21}=(0)(2)+(1)(0) \\ &m_{22}=(0)(2)+(1)(1) \\ &m_{23}=(0)(0)+(1)(1) \end{aligned}$$

   $$\begin{aligned} &\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix}m_{11}&m_{12}&m_{13}\\m_{21}&m_{22}&m_{23}\end{pmatrix} \end{aligned}$$

   $$\begin{aligned} &= \begin{pmatrix} 2+0 & 2+2 & 0+2 \\ 0+0 & 0+1 & 0+1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 2 & 4 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

   Titik-titik bayangan: $A'(2,0)$, $B'(4,1)$, $C'(2,1)$.

   Transformasi ini adalah geseran horizontal: koordinat $x$ bertambah sebesar dua kali koordinat $y$, sedangkan $y$ tetap.