Translasi

Menggeser Semua Titik dengan Vektor yang Sama

Translasi, juga dikenal sebagai pergeseran, adalah jenis transformasi geometri yang memindahkan setiap titik suatu objek sejauh jarak tertentu dalam arah tertentu. Transformasi ini tidak mengubah orientasi, ukuran, atau bentuk objek. Hanya posisinya yang berubah.

Definisi Translasi

Setiap translasi ditentukan oleh vektor pergeseran:

Untuk sembarang titik $P(x,y)$, translasi ini ditulis sebagai $T_{(a,b)}(x,y)$ atau $\tau_{(a,b)}(x,y)$ dan didefinisikan sebagai:

Ini berarti:

Di sini, $a$ adalah pergeseran horizontal (positif ke kanan, negatif ke kiri) dan $b$ adalah pergeseran vertikal (positif ke atas, negatif ke bawah).

Mentranslasikan sebuah Titik

Translasikan titik $(3,2)$ dengan vektor berikut, lalu tentukan bayangannya:

Di sini, $x=3$, $y=2$, $a=-2$, dan $b=3$.

Menggunakan rumus:

Jadi, bayangan titik $(3,2)$ adalah $(1,5)$.

Mentranslasikan sebuah Garis

Tentukan bayangan garis $l \equiv 2x + 3y - 1 = 0$ oleh translasi berikut:

Misalkan $P(x,y)$ adalah sembarang titik pada garis $l$. Oleh translasi ini, bayangannya adalah $P'(x',y')$ dengan koordinat:

Substitusikan nilai $x$ dan $y$ ini ke dalam persamaan garis $l$:

Mengganti $x'$ dan $y'$ kembali ke $x$ dan $y$, persamaan garis bayangan $l'$ adalah:

Latihan

1. Translasikan titik $(-4,4)$ dengan vektor berikut, lalu tentukan bayangannya:

   $$\begin{pmatrix} -2 \\ -3 \end{pmatrix}$$

2. Tentukan bayangan garis $l \equiv 5x - 2y + 3 = 0$ oleh translasi berikut:

   $$\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$$

3. Sebuah segitiga memiliki titik sudut $A(1,1)$, $B(4,1)$, dan $C(1,5)$. Translasikan segitiga dengan vektor berikut, lalu tentukan koordinat $A'B'C'$:

   $$\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$$

Pembahasan

1. Untuk titik $(-4,4)$, gunakan $x=-4, y=4, a=-2, b=-3$.

   $$x' = -4 + (-2) = -6$$

   $$y' = 4 + (-3) = 1$$

   Jadi, bayangan titiknya adalah $(-6,1)$.

2. Untuk garis $5x - 2y + 3 = 0$, gunakan $a=2, b=-1$.

   $$x' = x + 2 \implies x = x' - 2$$

   $$y' = y - 1 \implies y = y' + 1$$

   Substitusi ke persamaan garis:

   $$5(x' - 2) - 2(y' + 1) + 3 = 0$$

   $$5x' - 10 - 2y' - 2 + 3 = 0$$

   $$5x' - 2y' - 9 = 0$$

   Persamaan garis bayangan: $5x - 2y - 9 = 0$.

3. Translasikan setiap titik sudut $A(1,1)$, $B(4,1)$, dan $C(1,5)$ dengan $a=2, b=3$.

   $$A'(1+2, 1+3) = A'(3,4)$$

   $$B'(4+2, 1+3) = B'(6,4)$$

   $$C'(1+2, 5+3) = C'(3,8)$$

   Koordinat bayangan segitiga adalah $A'(3,4)$, $B'(6,4)$, dan $C'(3,8)$.