Matriks Rotasi

Menemukan Matriks Rotasi terhadap Titik Asal

Peta dari titik $(x,y)$ yang dirotasikan terhadap titik asal $(0,0)$ sebesar $\theta$ adalah .

Peta dari titik $(x,y)$ yang dirotasikan terhadap titik asal $(0,0)$ sebesar $\theta$ adalah .

(x \cos \theta - y \sin \theta, x \sin \theta + y \cos \theta)

Kita ingin menemukan matriks $2 \times 2$ , misalkan $\begin{pmatrix} r & s \\ t & u \end{pmatrix}$ , yang merepresentasikan transformasi rotasi ini.

Matriks ini harus memenuhi:

\begin{pmatrix} r & s \\ t & u \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \cos \theta - y \sin \theta \\ x \sin \theta + y \cos \theta \end{pmatrix}

Dari perkalian matriks di sisi kiri, kita mendapatkan:

\begin{pmatrix} rx + sy \\ tx + uy \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \cos \theta - y \sin \theta \\ x \sin \theta + y \cos \theta \end{pmatrix}

Dengan menyamakan komponen-komponen yang bersesuaian:

Baris pertama: $rx + sy = x \cos \theta - y \sin \theta$ .

Agar persamaan ini berlaku untuk semua $x$ dan $y$ , maka koefisien $x$ harus sama dan koefisien $y$ harus sama. Jadi, $r = \cos \theta$ dan $s = -\sin \theta$ .
Baris kedua: $tx + uy = x \sin \theta + y \cos \theta$ .

Dengan cara yang sama, $t = \sin \theta$ dan .

Matriks yang terkait dengan rotasi sebesar $\theta$ radian terhadap titik pusat $O(0,0)$ adalah:

R_\theta = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}

Untuk merotasikan titik $(x,y)$ terhadap titik sebarang $P(a,b)$ sebesar sudut $\theta$ , kita lakukan tiga langkah:

Translasikan titik $(x,y)$ sehingga $P(a,b)$ menjadi titik asal: $(x-a, y-b)$ .
Rotasikan titik hasil translasi terhadap titik asal sebesar $\theta$ menggunakan matriks $R_\theta$ .
Translasikan kembali titik hasil rotasi dengan menambahkan $(a,b)$ .

Matriks yang terkait dengan rotasi sebesar $\theta$ radian terhadap titik $(a,b)$ adalah:

\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x-a \\ y-b \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}

Matriks yang terkait dengan rotasi sebesar $\theta = \frac{1}{4}\pi$ radian ( $45^\circ$ ) terhadap titik pusat adalah:

Kita tahu $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ dan $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ .

R_{\frac{\pi}{4}} = \begin{pmatrix} \cos(\frac{\pi}{4}) & -\sin(\frac{\pi}{4}) \\ \sin(\frac{\pi}{4}) & \cos(\frac{\pi}{4}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}

Ini adalah matriks yang dicari.

Visualisasi Rotasi Titik

(2,0)

sebesar

45^\circ

terhadap Titik Asal

Titik

A(2,0)

dirotasi

45^\circ

menjadi

A'(\sqrt{2}, \sqrt{2})

.

\sqrt{2} \approx 1.414

.

Tentukan matriks-matriks yang berkaitan dengan rotasi terhadap titik pusat $O(0,0)$ sebesar $\frac{1}{6}\pi$ radian.
Tentukan peta dari titik $P(4,2)$ jika dirotasikan terhadap titik asal $O(0,0)$ sebesar $60^\circ$ .
Tentukan peta dari titik $Q(3,1)$ jika dirotasikan terhadap titik $C(1,-2)$ sebesar $90^\circ$ .

Diketahui $\theta = \frac{\pi}{6}$ atau $30^\circ$ :
$\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Matriks rotasi:

$\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}$
Titik $P(4,2)$ , $\theta = 60^\circ$ . $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ , .
Diketahui titik $Q(3,1)$ , pusat $C(1,-2)$ , $\theta = 90^\circ$ . $(a,b)=(1,-2)$ .

u = \cos \theta

\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}

\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (4)(\frac{1}{2}) - (2)(\frac{\sqrt{3}}{2}) \\ (4)(\frac{\sqrt{3}}{2}) + (2)(\frac{1}{2}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - \sqrt{3} \\ 2\sqrt{3} + 1 \end{pmatrix}

Peta: $P'(2-\sqrt{3}, 2\sqrt{3}+1)$ .

\cos 90^\circ = 0

Peta: $Q'(-2,0)$ .