Matriks Translasi

Translasi melalui Penjumlahan Vektor

Translasi menggeser titik $(x,y)$ sebesar $a$ secara horizontal dan $b$ secara vertikal, sehingga bayangannya adalah $(x+a, y+b)$ .

Operasi ini dapat ditulis dalam bentuk penjumlahan vektor (matriks kolom):

\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+a \\ y+b \end{pmatrix}

Rotasi berpusat di titik asal dan refleksi terhadap garis yang melalui titik asal dapat direpresentasikan oleh perkalian matriks $2 \times 2$ . Translasi dengan vektor bukan nol menambahkan vektor sehingga tidak dapat direpresentasikan dengan cara ini.

Untuk menggabungkan translasi dengan transformasi linear melalui perkalian matriks, kita menggunakan koordinat homogen. Titik $(x,y)$ dinyatakan sebagai kolom:

\begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix}

Transformasinya kemudian menggunakan matriks $3 \times 3$ . Untuk pergeseran horizontal sebesar $a$ dan vertikal sebesar $b$ , matriksnya adalah:

T_{(a,b)} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & a \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Sehingga:

\begin{aligned} \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1 & 0 & a \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} x+a \\ y+b \\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned}

Operasi Matriks

Untuk titik $(x,y)$ , jumlahkan setiap komponen dengan komponen vektor translasi yang bersesuaian:

\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}

Mencari Bayangan Titik dengan Operasi Matriks

Gunakan operasi matriks untuk mentranslasikan titik $(-2,3)$ dengan vektor berikut, lalu tentukan bayangannya:

\begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}

Penyelesaian:

Terapkan penjumlahan vektor secara langsung:

\begin{aligned} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -2 + (-3) \\ 3 + 4 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -5 \\ 7 \end{pmatrix} \end{aligned}

Bayangannya adalah $(-5,7)$ .

Translasi dari

P(-2,3)

P'(-5,7)

Visualisasi translasi titik

P(-2,3)

menjadi

P'(-5,7)

oleh vektor translasi.

Latihan

Gunakan operasi matriks untuk mentranslasikan titik $(4,-5)$ dengan vektor berikut, lalu tentukan bayangannya:

$\begin{pmatrix} -5 \\ 4 \end{pmatrix}$
Sebuah segitiga $KLM$ memiliki titik sudut $K(1,0)$ , $L(4,2)$ , dan $M(2,5)$ . Translasikan segitiga dengan vektor berikut, lalu tentukan koordinat $K'L'M'$ :

$T = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$

Pembahasan

Untuk titik $(4,-5)$ , gunakan pergeseran $a=-5$ dan $b=4$ .

$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -5 \\ 4 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 4-5 \\ -5+4 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{aligned}$

Bayangan: $(-1,-1)$ .
Terapkan vektor translasi $T$ dari soal pada setiap titik sudut:
- Untuk $K(1,0)$ :
  
  $\begin{aligned} \begin{pmatrix} x'_K \\ y'_K \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$
  
  Jadi $K'(-1,1)$ .
- Untuk $L(4,2)$ :
  
  $\begin{aligned} \begin{pmatrix} x'_L \\ y'_L \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{aligned}$
  
  Jadi $L'(2,3)$ .
- Untuk $M(2,5)$ :
  
  $\begin{aligned} \begin{pmatrix} x'_M \\ y'_M \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \end{pmatrix} \end{aligned}$
  
  Jadi $M'(0,6)$ .
Koordinat bayangan: $K'(-1,1)$ , $L'(2,3)$ , $M'(0,6)$ .