Matriks Translasi

Operasi Matriks terkait Translasi

Translasi atau pergeseran titik $(x,y)$ oleh vektor $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ menghasilkan bayangan .

Matriks Translasi

Operasi Matriks terkait Translasi

Translasi atau pergeseran titik $(x,y)$ oleh vektor $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ menghasilkan bayangan .

(x+a, y+b)

Operasi ini dapat ditulis dalam bentuk penjumlahan vektor (matriks kolom):

\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+a \\ y+b \end{pmatrix}

Ini berbeda dengan transformasi seperti rotasi atau refleksi terhadap sumbu/garis yang dapat direpresentasikan oleh perkalian matriks $2 \times 2$ . Translasi murni adalah operasi penjumlahan vektor.

Namun, jika kita ingin menggabungkan translasi dengan transformasi linear lainnya menggunakan perkalian matriks, kita sering menggunakan koordinat homogen. Dengan koordinat homogen, titik $(x,y)$ direpresentasikan sebagai $\begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix}$ , dan matriks transformasi menjadi $3 \times 3$ . Untuk translasi oleh $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ , matriksnya adalah:

T_{(a,b)} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & a \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Sehingga:

\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & a \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+a \\ y+b \\ 1 \end{pmatrix}

Operasi Matriks

Operasi matriks yang terkait dengan translasi oleh vektor $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ terhadap titik $(x,y)$ adalah:

\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}

Mencari Peta Titik dengan Operasi Matriks

Tentukan peta dari titik $(-2,3)$ yang ditranslasikan oleh vektor $\begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}$ menggunakan operasi matriks.

Alternatif Penyelesaian:

Berdasarkan operasi matriks, petanya dapat ditentukan dengan:

\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 + (-3) \\ 3 + 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 7 \end{pmatrix}

Petanya adalah $(-5,7)$ .

Translasi Titik

P(-2,3)

oleh Vektor

\begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}

Visualisasi translasi titik

P(-2,3)

menjadi

P'(-5,7)

oleh vektor translasi.

Latihan

Tentukan peta dari titik $(4,-5)$ yang ditranslasikan oleh vektor $\begin{pmatrix} -5 \\ 4 \end{pmatrix}$ menggunakan operasi matriks.
Sebuah segitiga $KLM$ memiliki titik sudut $K(1,0)$ , $L(4,2)$ , dan $M(2,5)$ . Segitiga ini ditranslasikan oleh vektor $T = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$ . Tentukan koordinat bayangan segitiga $K'L'M'$ .

Kunci Jawaban

Titik $(4,-5)$ , vektor translasi $\begin{pmatrix} -5 \\ 4 \end{pmatrix}$ .

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -5 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4-5 \\ -5+4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix}$

Peta: $(-1,-1)$ .
Vektor translasi $T = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$ .
- Untuk $K(1,0)$ : $\begin{pmatrix} x'_K \\ y'_K \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ . Jadi .

K'(-1,1)

Untuk

L(4,2)

:

\begin{pmatrix} x'_L \\ y'_L \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}

. Jadi

L'(2,3)

.

Untuk

M(2,5)

:

\begin{pmatrix} x'_M \\ y'_M \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \end{pmatrix}

. Jadi

M'(0,6)

.

Koordinat bayangan: $K'(-1,1)$ , $L'(2,3)$ , $M'(0,6)$ .