Tiga Perbandingan Trigonometri Dasar

Rasio Sisi pada Segitiga Siku-siku

Untuk sudut lancip yang tetap pada segitiga siku-siku, sisi-sisi yang bersesuaian selalu memiliki rasio yang sama. Tiga perbandingan utamanya adalah sinus ( $\sin$ ), kosinus ( $\cos$ ), dan tangen ( $\tan$ ).

\sin \theta = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi miring}}

Sisi dalam Segitiga dengan Sudut Siku

Nama sisi depan dan sisi samping ditentukan terhadap sudut $\theta$ yang sedang ditinjau. Sisi miring selalu berada di seberang sudut siku-siku.

Sisi miring (hypotenuse): Sisi terpanjang pada segitiga siku-siku, selalu berada di seberang sudut siku-siku $90^\circ$ .
Sisi depan (opposite): Sisi yang berada di seberang sudut $\theta$ yang kita tinjau.
Sisi samping (adjacent): Sisi siku-siku yang menyentuh sudut $\theta$ yang sedang kita tinjau.

Visualisasi Sisi-sisi Segitiga

Ubah nilai sudut pada kolom di bawah untuk melihat bagaimana posisi sisi-sisi berubah sesuai sudut.

Sinus

Sinus dari sudut $\theta$ adalah perbandingan antara panjang sisi depan dengan panjang sisi miring.

\sin \theta = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi miring}}

Visualisasi Sinus (

\sin \theta

)

Perhatikan bagaimana nilai

\sin

berubah saat sudut berubah.

Contoh Nilai Sinus

Tabel berikut memuat sinus sudut istimewa dalam bentuk eksak dan desimal, sehingga kamu dapat memeriksa nilainya pada salah satu bentuk.

Sudut	Nilai Eksak Sinus	Desimal Pendekatan
$0^\circ$	$0$	$0$
$30^\circ$	$\frac{1}{2}$	$0{,}5$
$45^\circ$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$0{,}71$
$60^\circ$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$0{,}87$
$90^\circ$	$1$	$1$

Kosinus

Kosinus dari sudut $\theta$ adalah perbandingan antara panjang sisi samping dengan panjang sisi miring.

\cos \theta = \frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi miring}}

Visualisasi Kosinus (

\cos \theta

)

Perhatikan bagaimana nilai

\cos

berubah saat sudut berubah.

Contoh Nilai Kosinus

Sudut istimewa yang sama muncul di sini dengan nilai kosinusnya, dan kolom desimalnya memuat nilai pendekatannya di samping bentuk eksaknya.

Sudut	Nilai Eksak Kosinus	Desimal Pendekatan
$0^\circ$	$1$	$1$
$30^\circ$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$0{,}87$
$45^\circ$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$0{,}71$
$60^\circ$	$\frac{1}{2}$	$0{,}5$
$90^\circ$	$0$	$0$

Tangen

Tangen dari sudut $\theta$ adalah perbandingan antara sisi depan dan sisi samping. Tangen juga merupakan hasil bagi sinus dengan kosinus ketika $\cos \theta\ne0$ .

\begin{aligned} &\tan \theta = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}, \\ &\cos \theta\ne0 \end{aligned}

Visualisasi Tangen (

\tan \theta

)

Perhatikan bagaimana nilai

\tan

berubah saat sudut berubah.

Contoh Nilai Tangen

Tabel berikut melengkapi ketiga perbandingan utama dengan nilai tangen untuk sudut istimewa yang sama.

Sudut	Nilai Eksak Tangen	Desimal Pendekatan
$0^\circ$	$0$	$0$
$30^\circ$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$0{,}58$
$45^\circ$	$1$	$1$
$60^\circ$	$\sqrt{3}$	$1{,}73$
$90^\circ$	$\text{tidak terdefinisi}$	$\text{tidak terdefinisi}$

Hubungan Sinus Kosinus dan Tangen pada Lingkaran Satuan

Untuk memahami bagaimana perbandingan trigonometri ini bekerja untuk semua sudut, kita bisa menggunakan konsep lingkaran satuan (lingkaran dengan jari-jari $1$ ).

Lingkaran Satuan dan Perbandingan Trigonometri

Ubah nilai sudut pada kolom di bawah untuk melihat bagaimana nilai

\sin

\cos

, dan

\tan

berubah di lingkaran satuan.

\sin\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}

\cos\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}

\tan\theta = 1

\theta = 45^\circ

0,79 Radian

Dalam lingkaran satuan:

Koordinat $x$ pada lingkaran satuan adalah $\cos \theta$ .
Koordinat $y$ pada lingkaran satuan adalah $\sin \theta$ .
Ketika $\cos \theta\ne0$ , $\tan \theta$ adalah kemiringan garis dari pusat ke titik pada lingkaran satuan. Pada $90^\circ$ , garisnya tegak sehingga kemiringan dan tangennya tidak terdefinisi.

Hubungan antara Ketiga Perbandingan Trigonometri

Ketiga perbandingan trigonometri ini saling berhubungan dengan rumus berikut:

\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta},\qquad \cos \theta\ne0

Latihan

Segitiga siku-siku berikut memiliki sudut $30^\circ$ dan sisi miring $1$ . Tentukan panjang eksak sisi depan dan sisi samping, lalu hitung $\sin 30^\circ$ , $\cos 30^\circ$ , dan $\tan 30^\circ$ .

Segitiga dengan Sudut

30^\circ

Segitiga siku-siku dengan sudut

30^\circ

Pembahasan

Perbandingan sudut istimewa memberikan panjang kedua kaki secara langsung:

\text{sisi depan}=1\cdot\sin 30^\circ=\frac{1}{2}

Menggunakan nilai eksak sebelum pembulatan mempertahankan identitas $\tan \theta=\sin \theta/\cos \theta$ dan menghindari galat akibat membagi dua desimal yang sudah dibulatkan.

Rasio Sisi pada Segitiga Siku-siku

\sin \theta = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi miring}}

Sisi dalam Segitiga dengan Sudut Siku

Nama sisi depan dan sisi samping ditentukan terhadap sudut $\theta$ yang sedang ditinjau. Sisi miring selalu berada di seberang sudut siku-siku.

Sisi miring (hypotenuse): Sisi terpanjang pada segitiga siku-siku, selalu berada di seberang sudut siku-siku $90^\circ$ .
Sisi depan (opposite): Sisi yang berada di seberang sudut $\theta$ yang kita tinjau.
Sisi samping (adjacent): Sisi siku-siku yang menyentuh sudut $\theta$ yang sedang kita tinjau.

Visualisasi Sisi-sisi Segitiga

Ubah nilai sudut pada kolom di bawah untuk melihat bagaimana posisi sisi-sisi berubah sesuai sudut.

Sinus

Sinus dari sudut $\theta$ adalah perbandingan antara panjang sisi depan dengan panjang sisi miring.

\sin \theta = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi miring}}

Visualisasi Sinus (

\sin \theta

)

Perhatikan bagaimana nilai

\sin

berubah saat sudut berubah.

Contoh Nilai Sinus

Tabel berikut memuat sinus sudut istimewa dalam bentuk eksak dan desimal, sehingga kamu dapat memeriksa nilainya pada salah satu bentuk.

Sudut	Nilai Eksak Sinus	Desimal Pendekatan
$0^\circ$	$0$	$0$
$30^\circ$	$\frac{1}{2}$	$0{,}5$
$45^\circ$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$0{,}71$
$60^\circ$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$0{,}87$
$90^\circ$	$1$	$1$

Kosinus

Kosinus dari sudut $\theta$ adalah perbandingan antara panjang sisi samping dengan panjang sisi miring.

\cos \theta = \frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi miring}}

Visualisasi Kosinus (

\cos \theta

)

Perhatikan bagaimana nilai

\cos

berubah saat sudut berubah.

Contoh Nilai Kosinus

Sudut istimewa yang sama muncul di sini dengan nilai kosinusnya, dan kolom desimalnya memuat nilai pendekatannya di samping bentuk eksaknya.

Sudut	Nilai Eksak Kosinus	Desimal Pendekatan
$0^\circ$	$1$	$1$
$30^\circ$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$0{,}87$
$45^\circ$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$0{,}71$
$60^\circ$	$\frac{1}{2}$	$0{,}5$
$90^\circ$	$0$	$0$

Tangen

Tangen dari sudut $\theta$ adalah perbandingan antara sisi depan dan sisi samping. Tangen juga merupakan hasil bagi sinus dengan kosinus ketika $\cos \theta\ne0$ .

\begin{aligned} &\tan \theta = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}, \\ &\cos \theta\ne0 \end{aligned}

Visualisasi Tangen (

\tan \theta

)

Perhatikan bagaimana nilai

\tan

berubah saat sudut berubah.

Contoh Nilai Tangen

Tabel berikut melengkapi ketiga perbandingan utama dengan nilai tangen untuk sudut istimewa yang sama.

Sudut	Nilai Eksak Tangen	Desimal Pendekatan
$0^\circ$	$0$	$0$
$30^\circ$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$0{,}58$
$45^\circ$	$1$	$1$
$60^\circ$	$\sqrt{3}$	$1{,}73$
$90^\circ$	$\text{tidak terdefinisi}$	$\text{tidak terdefinisi}$

Hubungan Sinus Kosinus dan Tangen pada Lingkaran Satuan

Untuk memahami bagaimana perbandingan trigonometri ini bekerja untuk semua sudut, kita bisa menggunakan konsep lingkaran satuan (lingkaran dengan jari-jari $1$ ).

Lingkaran Satuan dan Perbandingan Trigonometri

Ubah nilai sudut pada kolom di bawah untuk melihat bagaimana nilai

\sin

\cos

, dan

\tan

berubah di lingkaran satuan.

\sin\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}

\cos\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}

\tan\theta = 1

\theta = 45^\circ

0,79 Radian

Dalam lingkaran satuan:

Koordinat $x$ pada lingkaran satuan adalah $\cos \theta$ .
Koordinat $y$ pada lingkaran satuan adalah $\sin \theta$ .
Ketika $\cos \theta\ne0$ , $\tan \theta$ adalah kemiringan garis dari pusat ke titik pada lingkaran satuan. Pada $90^\circ$ , garisnya tegak sehingga kemiringan dan tangennya tidak terdefinisi.

Hubungan antara Ketiga Perbandingan Trigonometri

Ketiga perbandingan trigonometri ini saling berhubungan dengan rumus berikut:

\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta},\qquad \cos \theta\ne0

Latihan

Segitiga siku-siku berikut memiliki sudut $30^\circ$ dan sisi miring $1$ . Tentukan panjang eksak sisi depan dan sisi samping, lalu hitung $\sin 30^\circ$ , $\cos 30^\circ$ , dan $\tan 30^\circ$ .

Segitiga dengan Sudut

30^\circ

Segitiga siku-siku dengan sudut

30^\circ

Pembahasan

Perbandingan sudut istimewa memberikan panjang kedua kaki secara langsung:

\text{sisi depan}=1\cdot\sin 30^\circ=\frac{1}{2}

Menggunakan nilai eksak sebelum pembulatan mempertahankan identitas $\tan \theta=\sin \theta/\cos \theta$ dan menghindari galat akibat membagi dua desimal yang sudah dibulatkan.