Turunan Fungsi Aljabar

Menerapkan Aturan Turunan

Berbagai aturan turunan dapat diterapkan pada banyak bentuk aljabar. Untuk polinomial, fungsi rasional, atau ekspresi yang memuat akar, kenali dahulu strukturnya lalu pilih aturan yang sesuai. Contoh berikut menunjukkan alasan di balik setiap pilihan.

Penggunaan Sifat Turunan

Setiap contoh menggunakan bentuk aljabar yang berbeda dan menjelaskan mengapa metodenya bekerja. Sebelum menurunkan, ubah bentuk pecahan atau bentuk akar menjadi pangkat, karena aturan pangkat lalu berlaku langsung pada setiap suku.

Menurunkan Polinomial

Tentukan turunan pertama dari $y = 4x^2 + x + 2$.

Penyelesaian:

Kita bisa menurunkan setiap suku satu per satu menggunakan aturan pangkat dan aturan konstanta.

Menurunkan Ekspresi Berbentuk Akar

Untuk $x>0$, tentukan turunan pertama dari $y = x\sqrt{x^3}$.

Penyelesaian:

Ada dua cara untuk menyelesaikan ini.

Cara 1: Menggunakan Aturan Hasil Kali

Pertama, kita ubah bentuk akar menjadi pangkat: $y = x \cdot x^{3/2}$.

Misalkan $u(x) = x$ dan $v(x) = x^{3/2}$. Maka, $u'(x)=1$ dan $v'(x) = \frac{3}{2}x^{1/2}$.

Cara 2: Menyederhanakan Terlebih Dahulu

Kita bisa menyederhanakan fungsinya sebelum diturunkan.

Kedua cara menghasilkan $y'=\frac{5}{2}x^{3/2}$. Menyederhanakan fungsi lebih dahulu membutuhkan lebih sedikit langkah. Aturan hasil kali menurunkan kedua faktor secara terpisah, sehingga dapat dipakai untuk memeriksa hasil yang sama. Sebagai fungsi bernilai real, bentuk asalnya memiliki domain $x \ge 0$. Proses penurunan di atas dilakukan pada bagian dalam domainnya, yaitu $x>0$.

Menurunkan Fungsi Rasional

Pada domain $x\ne0$, tentukan turunan pertama dari $y = 2\left(\frac{x^2+2}{x}\right)$.

Penyelesaian:

Kita gunakan aturan hasil bagi. Misalkan $u(x) = x^2+2$ dan $v(x) = x$. Maka $u'(x) = 2x$ dan $v'(x) = 1$.

Syarat $x\ne0$ tetap menjadi bagian dari domain turunannya.

Latihan

Setiap soal meminta turunan suatu bentuk aljabar. Sederhanakan bentuk itu bila mungkin, lalu pakai aturan pangkat. Tuliskan hasilnya dalam bentuk pangkat yang rapi, karena bentuk itu menunjukkan pangkat dan koefisien setiap suku.

1. Untuk $x>0$, tentukan turunan pertama dari $y = \frac{\sqrt{x} + x^2}{2x}$.

Kunci Jawaban

1. Tulis dahulu fungsi sebagai jumlah bentuk berpangkat. Setelah itu, aturan pangkat dapat diterapkan pada setiap suku.

   Langkah 1: Urai Pecahan

   Pisahkan kedua suku pada pembilang dengan penyebut yang sama:

   $$y = \frac{\sqrt{x}}{2x} + \frac{x^2}{2x}$$

   Langkah 2: Sederhanakan Setiap Suku

   Ubah bentuk akar menjadi pangkat $x^{1/2}$ dan gunakan sifat eksponen untuk menyederhanakan setiap suku.

   $$y = \frac{x^{1/2}}{2x^1} + \frac{x^2}{2x^1}$$

   $$y = \frac{1}{2}x^{1/2 - 1} + \frac{1}{2}x^{2-1}$$

   $$y = \frac{1}{2}x^{-1/2} + \frac{1}{2}x$$

   Langkah 3: Terapkan Aturan Pangkat

   Setelah fungsi menjadi sederhana, kita bisa langsung menurunkannya suku per suku.

   $$y' = \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}x^{-1/2 - 1}\right) + \frac{1}{2}(1)$$

   $$y' = -\frac{1}{4}x^{-3/2} + \frac{1}{2}$$

   Jadi, turunan pertamanya adalah $\frac{1}{2} - \frac{1}{4}x^{-3/2}$.