Pengurangan Vektor

Mengurangkan Vektor dengan Menambahkan Vektor Lawannya

Pengurangan vektor menghasilkan selisih antara dua vektor. Ketika kita mengurangkan $\vec{b}$ dari $\vec{a}$ , kita memperoleh vektor yang harus ditambahkan pada $\vec{b}$ agar menghasilkan $\vec{a}$ .

Secara matematis, pengurangan vektor didefinisikan sebagai:

\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})

Dengan kata lain, mengurangkan $\vec{b}$ dari $\vec{a}$ sama dengan menjumlahkan $\vec{a}$ dengan negatif dari $\vec{b}$ .

Pengurangan Vektor secara Geometris

Empat langkah berikut menunjukkan dua konstruksi yang setara untuk $\vec{a} - \vec{b}$ :

Gambar $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ dengan titik pangkal yang sama.
Gambar anak panah dari ujung $\vec{b}$ ke ujung $\vec{a}$ . Anak panah itu adalah $\vec{a} - \vec{b}$ .
Untuk konstruksi kedua, balikkan $\vec{b}$ menjadi $-\vec{b}$ , lalu geser hingga titik pangkalnya bertemu dengan ujung $\vec{a}$ .
Gambar anak panah dari titik asal bersama ke ujung terakhir. Anak panah itu adalah $\vec{a}+(-\vec{b})=\vec{a}-\vec{b}$ .

Visualisasi berikut menunjukkan kedua konstruksi. Kedua anak panah berlabel $a-b$ memiliki komponen, panjang, dan arah yang sama meskipun titik pangkalnya berbeda.

Visualisasi Pengurangan Vektor di Ruang 3D

Konstruksi berpangkal sama dan ujung ke pangkal untuk

a-b=a+(-b)

Pengurangan Vektor secara Aljabar

Secara aljabar, kurangkan komponen-komponen yang bersesuaian. Misalkan kita memiliki dua vektor:

\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)

Maka pengurangan vektor $\vec{a} - \vec{b}$ dapat dihitung dengan:

\vec{a} - \vec{b} = (a_1 - b_1, a_2 - b_2, a_3 - b_3)

Untuk vektor dua dimensi, persamaannya menjadi:

\vec{a} - \vec{b} = (a_1 - b_1, a_2 - b_2)

Contoh Perhitungan Pengurangan Vektor

Misalkan terdapat dua vektor:

\vec{a} = (3, 4)

Hitung $\vec{a} - \vec{b}$ dengan mengurangkan komponen yang bersesuaian:

\begin{aligned} \vec{a} - \vec{b} &= (3, 4) - (1, 2) \\ &= (3-1, 4-2) \\ &= (2, 2) \end{aligned}

Sedangkan pengurangan vektor $\vec{b} - \vec{a}$ adalah:

\begin{aligned} \vec{b} - \vec{a} &= (1, 2) - (3, 4) \\ &= (1-3, 2-4) \\ &= (-2, -2) \end{aligned}

Perhatikan bahwa $\vec{a} - \vec{b} \neq \vec{b} - \vec{a}$ secara umum. Membalik urutan akan membalik arah: $\vec{a} - \vec{b} = -(\vec{b} - \vec{a})$ .

Contoh Pengurangan Vektor

Visualisasi pengurangan vektor

a - b = (3,4,0) - (1,2,0) = (2,2,0)

Aplikasi Pengurangan Vektor

Pengurangan vektor digunakan ketika kita membandingkan dua besaran vektor:

Menghitung Perpindahan: Jika $\vec{a}$ adalah posisi akhir dan $\vec{b}$ adalah posisi awal, maka $\vec{a} - \vec{b}$ adalah vektor perpindahan.
Menghitung Jarak: Dalam sebuah gim, posisi target dikurangi posisi burung menghasilkan arah menuju target. Besar vektor selisih tersebut memberikan jarak lurus antara keduanya.
Membandingkan Kecepatan: Dalam fisika, kecepatan benda $A$ relatif terhadap benda $B$ adalah $\vec{v}_{A/B}=\vec{v}_A-\vec{v}_B$ . Membalik urutan akan membalik vektor kecepatan relatif.

Pengurangan Vektor untuk Mencari Perpindahan

Perpindahan antara dua posisi diperoleh dengan mengurangkan vektor posisi awal dari vektor posisi akhir.

Misalkan terdapat sebuah objek yang bergerak dari posisi awal $\vec{p}_1$ ke posisi akhir $\vec{p}_2$ . Vektor perpindahan objek tersebut adalah:

\vec{d} = \vec{p}_2 - \vec{p}_1

Vektor ini menunjuk dari posisi awal ke posisi akhir. Besarnya merupakan jarak lurus antara kedua posisi, yang dapat lebih pendek daripada lintasan yang benar-benar ditempuh.

Sifat Pengurangan Vektor

Aturan $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$ mengubah pengurangan menjadi penjumlahan, sehingga semua aturan penjumlahan vektor tetap bisa kamu pakai. Mengurangkan sebuah vektor dengan dirinya sendiri selalu menghasilkan vektor nol. Menukar kedua vektor membalik tanda hasilnya, jadi perhatikan urutan vektor yang kamu kurangkan.

$\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$
$\vec{a} - \vec{a} = \vec{0}$ (vektor nol)
$\vec{a} - \vec{0} = \vec{a}$
$\vec{0} - \vec{a} = -\vec{a}$
$\vec{a} - \vec{b} = -(\vec{b} - \vec{a})$

Menentukan Perpindahan dengan Pengurangan Vektor

Seekor monyet berada pada posisi $(3, 4)$ dan ingin mengambil pisang yang berada pada posisi $(2, 1)$ . Tentukan vektor perpindahan monyet untuk mengambil pisang.

Penyelesaian:

Posisi monyet: $\vec{m} = (3, 4)$

Posisi pisang: $\vec{p} = (2, 1)$

Vektor perpindahan monyet ke pisang:

\begin{aligned} \vec{d} &= \vec{p} - \vec{m} \\ &= (2, 1) - (3, 4) \\ &= (2-3, 1-4) \\ &= (-1, -3) \end{aligned}

Jadi, monyet harus bergerak $1 \text{ satuan}$ ke arah negatif sumbu $x$ dan $3 \text{ satuan}$ ke arah negatif sumbu $y$ untuk mencapai pisang.

Besar vektor perpindahan dapat dihitung dengan rumus Pythagoras:

\begin{aligned} |\vec{d}| &= \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2} \\ &= \sqrt{1 + 9} \\ &= \sqrt{10} \\ &\approx 3{,}16 \end{aligned}