Vektor Satuan dari Suatu Vektor

Vektor Berpanjang Satu untuk Menunjukkan Arah

Vektor satuan memiliki panjang $1 \text{ satuan}$ . Karena panjangnya sudah ditetapkan, vektor ini hanya menunjukkan arah. Vektor satuan yang searah dengan suatu vektor tak nol diperoleh dengan membagi vektor tersebut dengan panjangnya.

Rumus dan Arah Vektor Satuan

Perhatikan vektor $\overrightarrow{PQ}$ yang berada pada sistem koordinat Kartesius. Vektor satuan dari $\overrightarrow{PQ}$ didefinisikan sebagai vektor $\overrightarrow{PQ}$ dibagi dengan panjangnya.

\mathbf{u}_{PQ} = \frac{\overrightarrow{PQ}}{|\overrightarrow{PQ}|}

Pada rumus ini, $|\overrightarrow{PQ}|$ adalah panjang vektor $\overrightarrow{PQ}$ .

Vektor satuan searah dengan vektor asal, tetapi panjangnya selalu $1 \text{ satuan}$ .

Vektor dan Vektor Satuan

Visualisasi vektor asli dan vektor satuan yang memiliki arah sama namun panjang berbeda.

Menghitung Vektor Satuan

Membagi sebuah vektor dengan panjangnya sendiri mempertahankan arahnya dan mengecilkan panjangnya menjadi satu. Kerjakan tiga langkah berikut secara berurutan untuk vektor apa pun yang bukan vektor nol.

Tentukan vektor asal
Hitung panjang vektor tersebut
Bagi vektor dengan panjangnya

Menormalkan Vektor Tiga Dimensi

Gunakan vektor $\vec{v} = (3, 6, 4)$ .

Pertama, hitung panjangnya:

\begin{aligned} |\vec{v}| &= \sqrt{3^2 + 6^2 + 4^2} \\ &= \sqrt{9 + 36 + 16} \\ &= \sqrt{61} \end{aligned}

Kemudian, bagi vektor dengan panjang tersebut:

\hat{v} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \frac{(3, 6, 4)}{\sqrt{61}}

Vektor satuannya adalah:

\hat{v} = \left(\frac{3}{\sqrt{61}}, \frac{6}{\sqrt{61}}, \frac{4}{\sqrt{61}}\right)

Contoh Vektor Satuan dalam Ruang 3D

Visualisasi vektor

v(3,6,4)

dan vektor satuan

\hat{v}

yang searah.

Panjang dan Komponen Vektor Satuan

Ciri utama vektor satuan adalah panjangnya satu, dan panjang itu mengikat nilai komponen-komponennya. Jumlah kuadrat semua komponennya sama dengan satu, dan persamaan itulah yang dipakai saat mengubah vektor menjadi vektor satuannya.

Panjang Vektor Satuan

Vektor satuan memiliki panjang $1$ . Untuk contoh ini, jumlahkan dahulu kuadrat ketiga koordinatnya. Panjang tidak negatif, jadi ambil akar kuadrat positif pada langkah terakhir.

\begin{aligned} &|\hat{v}|^2 \\ &=\left(\frac{3}{\sqrt{61}}\right)^2+\left(\frac{6}{\sqrt{61}}\right)^2 \\ &\quad+\left(\frac{4}{\sqrt{61}}\right)^2 \\ &=\frac{9+36+16}{61} \\ &=\frac{61}{61} \\ &=1 \end{aligned}

Vektor Satuan pada Sumbu Koordinat

Dalam sistem koordinat tiga dimensi, terdapat tiga vektor satuan standar yang menunjuk ke arah positif setiap sumbu koordinat:

$\hat{\imath}$ adalah vektor satuan pada arah positif sumbu $x$
$\hat{\jmath}$ adalah vektor satuan pada arah positif sumbu $y$
$\hat{k}$ adalah vektor satuan pada arah positif sumbu $z$

Setiap vektor di $\mathbb{R}^3$ dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari ketiga vektor satuan ini.

Vektor Satuan Standar

Vektor satuan standar pada sumbu koordinat.

Menyatakan Arah dengan Vektor Satuan

Vektor satuan memisahkan arah dari besar, sehingga arah bisa dinyatakan sendiri. Dengan cara itu, dua gaya yang arahnya sama tetap bisa dibedakan dari besar masing-masing.

Menunjukkan Arah

Vektor satuan menyatakan arah dengan besar $1$ . Dalam fisika, vektor ini dapat menyatakan arah gaya, kecepatan, atau percepatan secara terpisah dari besarnya. Besar aslinya tetap ditulis sebagai faktor tersendiri, sehingga arah dan panjang vektor bisa kamu olah satu per satu.

Perhitungan Fisika

Vektor satuan menyatakan gaya sebagai komponen pada sumbu $x$ , $y$ , dan $z$ . Setiap koefisien menyatakan besar bertanda pada satu sumbu. Gaya yang ditulis $3\mathbf{i} - 4\mathbf{j}$ berarti mengarah $3 \text{ satuan}$ pada sumbu $x$ dan $-4 \text{ satuan}$ pada sumbu $y$ .