Vektor Dua Dimensi

Vektor pada Bidang Koordinat Kartesius

Pada sistem koordinat Kartesius, setiap titik pada bidang dapat dinyatakan dengan pasangan bilangan $(x, y)$. Nilai $x$ menunjukkan posisi horizontal, sedangkan $y$ menunjukkan posisi vertikal. Titik asal koordinat adalah $O(0, 0)$.

Jika kita menggambar ruas garis berarah dari titik asal $O$ ke titik lain, misalnya $Q(x, y)$, kita memperoleh sebuah vektor. Vektor ini ditulis sebagai $\overrightarrow{OQ}$. Besar vektor adalah panjang ruas garisnya, sedangkan arahnya bergerak dari titik awal menuju ujung panah.

Dua vektor satuan menyatakan arah kedua sumbu koordinat. Setiap vektor satuan memiliki panjang $1 \text{ satuan}$.

• $\mathbf{i}$ adalah vektor satuan searah sumbu $x$ positif (horizontal).
• $\mathbf{j}$ adalah vektor satuan searah sumbu $y$ positif (vertikal).

Vektor $\overrightarrow{OQ}$ dapat dinyatakan sebagai kombinasi dari pergerakan horizontal sejauh $x$ dan pergerakan vertikal sejauh $y$. Dalam bentuk vektor satuan, kita tulis:

Komponen dan Panjang Vektor

Nilai $x$ dan $y$ pada vektor $\overrightarrow{OQ} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j}$ disebut komponen vektor.

• $x$ adalah komponen skalar horizontal. Proyeksi vektor yang bersesuaian pada sumbu $x$ adalah $x\mathbf{i}$.
• $y$ adalah komponen skalar vertikal. Proyeksi vektor yang bersesuaian pada sumbu $y$ adalah $y\mathbf{j}$.

Vektor yang memiliki dua komponen seperti ini disebut vektor berdimensi dua.

Panjang atau besar vektor $\overrightarrow{OQ}$, ditulis sebagai $|\overrightarrow{OQ}|$, adalah jarak dari titik asal $O$ ke titik ujung $Q$. Jika $Q(x,y)$ adalah titik ujung dan $R(x,0)$ adalah proyeksi $Q$ pada sumbu $x$, segitiga siku-siku $ORQ$ memberikan besar vektor melalui teorema Pythagoras:

Visualisasi Vektor Dua Dimensi

Visualisasi berikut menghubungkan vektor, komponen-komponennya, dan besarnya pada bidang Kartesius:

Diagram menampilkan ketiga sumbu koordinat. Vektor berada pada bidang $xy$, sehingga komponen $z$-nya bernilai $0$.

Pada visualisasi di atas:

• Vektor $\overrightarrow{OQ}$ (hijau muda) memiliki titik awal $O(0,0)$ dan titik akhir $Q(4,3)$
• Komponen-$x$ (biru muda) adalah proyeksi vektor $\overrightarrow{OQ}$ pada sumbu-$x$, yaitu $4\mathbf{i}$
• Komponen-$y$ (kuning) adalah proyeksi vektor $\overrightarrow{OQ}$ pada sumbu-$y$, yaitu $3\mathbf{j}$
• Panjang vektor $|\overrightarrow{OQ}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$