Vektor Tiga Dimensi

Komponen Vektor pada Tiga Sumbu Koordinat

Vektor tiga dimensi memiliki besar dan arah dalam ruang tiga dimensi. Vektor dua dimensi hanya memiliki komponen pada sumbu $x$ dan $y$ , sedangkan vektor tiga dimensi juga memiliki komponen pada sumbu $z$ .

Vektor dalam Ruang Tiga Dimensi

Visualisasi vektor dalam ruang tiga dimensi dengan komponen

x

y

, dan

z

Representasi Vektor Tiga Dimensi

Vektor tiga dimensi memerlukan koordinat ketiga, dan ada beberapa notasi untuk menuliskannya. Koordinat ketiga itu menetapkan posisi pada sumbu vertikal, dan ketiga bilangan bersama-sama menentukan panjang serta arah vektor.

Notasi Vektor Tiga Dimensi

Vektor tiga dimensi memerlukan koordinat ketiga, dan setiap notasi menuliskan ketiga koordinat itu dalam urutan yang tetap. Daftar berikut menampilkan notasi yang umum dipakai.

Vektor tiga dimensi dapat dinotasikan dengan berbagai cara:

Notasi huruf dengan tanda panah di atasnya: $\vec{a}$ atau $\overrightarrow{PQ}$
Notasi komponen: $(a_x, a_y, a_z)$ atau $(a_1, a_2, a_3)$
Notasi basis: $a_x\vec{i} + a_y\vec{j} + a_z\vec{k}$

Komponen Vektor Tiga Dimensi

Vektor dalam ruang tiga dimensi memiliki tiga komponen koordinat skalar. Perkalian setiap skalar dengan vektor satuan sumbunya menghasilkan proyeksi vektor yang bersesuaian:

\vec{a} = (a_x, a_y, a_z) = a_x\vec{i} + a_y\vec{j} + a_z\vec{k}

Pada bentuk ini:

$a_x$ adalah komponen skalar sepanjang sumbu $x$ , sedangkan $a_x\vec{i}$ adalah proyeksi vektornya
$a_y$ adalah komponen skalar sepanjang sumbu $y$ , sedangkan $a_y\vec{j}$ adalah proyeksi vektornya
$a_z$ adalah komponen skalar sepanjang sumbu $z$ , sedangkan $a_z\vec{k}$ adalah proyeksi vektornya
$\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ adalah vektor satuan pada sumbu $x$ , $y$ , dan $z$

Komponen Vektor Tiga Dimensi

Vektor tiga dimensi dengan komponen pada sumbu

x

y

, dan

z

Panjang Vektor Tiga Dimensi

Panjang atau besar vektor tiga dimensi $\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)$ ditentukan dengan rumus:

|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}

Contoh:

Jika $\vec{a} = (3, 4, 5)$ , maka panjang vektor $\vec{a}$ adalah:

\begin{aligned} |\vec{a}| &= \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} \\ &= \sqrt{9 + 16 + 25} \\ &= \sqrt{50} \\ &= 5\sqrt{2} \end{aligned}

Operasi Vektor Tiga Dimensi

Menjumlahkan dan mengurangkan vektor ruang berarti mengerjakan ketiga koordinatnya dengan aturan yang sama seperti di bidang datar. Satu koordinat yang salah membuat seluruh hasilnya salah, jadi kerjakan baris demi baris.

Penjumlahan, pengurangan, dan perkalian skalar pada vektor tiga dimensi memakai aturan komponen yang sama seperti pada dua dimensi.

Penjumlahan dan Pengurangan Vektor

Penjumlahan dan pengurangan vektor tiga dimensi dilakukan dengan menjumlahkan atau mengurangkan komponen-komponen yang bersesuaian.

Jika $\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)$ dan $\vec{b} = (b_x, b_y, b_z)$ , maka:

\vec{a} + \vec{b} = (a_x + b_x, a_y + b_y, a_z + b_z)

Penjumlahan Vektor Tiga Dimensi

Visualisasi penjumlahan vektor

a

dan

b

menghasilkan vektor

c = a + b

Perkalian Skalar dengan Vektor

Perkalian skalar $k$ dengan vektor $\vec{a}$ mengalikan besarnya dengan $|k|$ . Jika $\vec{a}$ tak nol, arahnya tetap ketika $k > 0$ dan berbalik ketika $k < 0$ .

k\vec{a} = (k \cdot a_x, k \cdot a_y, k \cdot a_z)

Perkalian Skalar dengan Vektor

Visualisasi perkalian skalar oleh

k

pada vektor

a

, dengan

k = 2

Perkalian Titik atau Dot Product

Perkalian titik antara dua vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ menghasilkan skalar yang didefinisikan sebagai:

\begin{aligned} \vec{a} \cdot \vec{b} &= a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z \\ &= |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta \end{aligned}

Pada rumus ini, $\theta$ adalah sudut antara kedua vektor.

Perkalian titik memiliki sifat:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$ (komutatif)
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ jika dan hanya jika $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ ortogonal. Jika kedua vektor tidak nol, kedua vektor saling tegak lurus
$\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$

Perkalian Silang atau Cross Product

Perkalian silang antara dua vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ menghasilkan vektor yang hasil kali titiknya dengan masing-masing faktor bernilai nol:

(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{a}=(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{b}=0

Besar dari hasil perkalian silang adalah:

|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta

Pada rumus ini, $\theta$ adalah sudut antara kedua vektor.

Jika $\vec{a}\times\vec{b}\neq\vec{0}$ , arahnya tegak lurus terhadap kedua faktor dan mengikuti kaidah tangan kanan dari $\vec{a}$ menuju $\vec{b}$ . Jika salah satu faktor adalah vektor nol atau kedua faktor sejajar, hasil kali silangnya adalah $\vec{0}$ sehingga tidak memiliki arah geometris.

Perkalian Silang Vektor

Arah kaidah tangan kanan dari

\vec{a}\times\vec{b}

, yang tegak lurus terhadap kedua vektor tak sejajar.

Aplikasi Vektor Tiga Dimensi

Vektor tiga dimensi memiliki banyak aplikasi dalam berbagai bidang:

Fisika: Untuk menggambarkan gaya, kecepatan, percepatan, dan momentum dalam ruang tiga dimensi
Grafika Komputer: Untuk merepresentasikan posisi dan pergerakan objek dalam ruang tiga dimensi
Robotika: Untuk mengontrol pergerakan robot dalam ruang
Navigasi: Untuk menentukan arah dan jarak dalam ruang tiga dimensi
Teknik Mesin: Untuk analisis struktur dan mekanika fluida

Komponen Vektor pada Tiga Sumbu Koordinat

Vektor dalam Ruang Tiga Dimensi

Visualisasi vektor dalam ruang tiga dimensi dengan komponen

x

y

, dan

z

Representasi Vektor Tiga Dimensi

Notasi Vektor Tiga Dimensi

Vektor tiga dimensi memerlukan koordinat ketiga, dan setiap notasi menuliskan ketiga koordinat itu dalam urutan yang tetap. Daftar berikut menampilkan notasi yang umum dipakai.

Vektor tiga dimensi dapat dinotasikan dengan berbagai cara:

Notasi huruf dengan tanda panah di atasnya: $\vec{a}$ atau $\overrightarrow{PQ}$
Notasi komponen: $(a_x, a_y, a_z)$ atau $(a_1, a_2, a_3)$
Notasi basis: $a_x\vec{i} + a_y\vec{j} + a_z\vec{k}$

Komponen Vektor Tiga Dimensi

Vektor dalam ruang tiga dimensi memiliki tiga komponen koordinat skalar. Perkalian setiap skalar dengan vektor satuan sumbunya menghasilkan proyeksi vektor yang bersesuaian:

\vec{a} = (a_x, a_y, a_z) = a_x\vec{i} + a_y\vec{j} + a_z\vec{k}

Pada bentuk ini:

$a_x$ adalah komponen skalar sepanjang sumbu $x$ , sedangkan $a_x\vec{i}$ adalah proyeksi vektornya
$a_y$ adalah komponen skalar sepanjang sumbu $y$ , sedangkan $a_y\vec{j}$ adalah proyeksi vektornya
$a_z$ adalah komponen skalar sepanjang sumbu $z$ , sedangkan $a_z\vec{k}$ adalah proyeksi vektornya
$\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ adalah vektor satuan pada sumbu $x$ , $y$ , dan $z$

Komponen Vektor Tiga Dimensi

Vektor tiga dimensi dengan komponen pada sumbu

x

y

, dan

z

Panjang Vektor Tiga Dimensi

Panjang atau besar vektor tiga dimensi $\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)$ ditentukan dengan rumus:

|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}

Contoh:

Jika $\vec{a} = (3, 4, 5)$ , maka panjang vektor $\vec{a}$ adalah:

\begin{aligned} |\vec{a}| &= \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} \\ &= \sqrt{9 + 16 + 25} \\ &= \sqrt{50} \\ &= 5\sqrt{2} \end{aligned}

Operasi Vektor Tiga Dimensi

Penjumlahan, pengurangan, dan perkalian skalar pada vektor tiga dimensi memakai aturan komponen yang sama seperti pada dua dimensi.

Penjumlahan dan Pengurangan Vektor

Penjumlahan dan pengurangan vektor tiga dimensi dilakukan dengan menjumlahkan atau mengurangkan komponen-komponen yang bersesuaian.

Jika $\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)$ dan $\vec{b} = (b_x, b_y, b_z)$ , maka:

\vec{a} + \vec{b} = (a_x + b_x, a_y + b_y, a_z + b_z)

Penjumlahan Vektor Tiga Dimensi

Visualisasi penjumlahan vektor

a

dan

b

menghasilkan vektor

c = a + b

Perkalian Skalar dengan Vektor

Perkalian skalar $k$ dengan vektor $\vec{a}$ mengalikan besarnya dengan $|k|$ . Jika $\vec{a}$ tak nol, arahnya tetap ketika $k > 0$ dan berbalik ketika $k < 0$ .

k\vec{a} = (k \cdot a_x, k \cdot a_y, k \cdot a_z)

Perkalian Skalar dengan Vektor

Visualisasi perkalian skalar oleh

k

pada vektor

a

, dengan

k = 2

Perkalian Titik atau Dot Product

Perkalian titik antara dua vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ menghasilkan skalar yang didefinisikan sebagai:

\begin{aligned} \vec{a} \cdot \vec{b} &= a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z \\ &= |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta \end{aligned}

Pada rumus ini, $\theta$ adalah sudut antara kedua vektor.

Perkalian titik memiliki sifat:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$ (komutatif)
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ jika dan hanya jika $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ ortogonal. Jika kedua vektor tidak nol, kedua vektor saling tegak lurus
$\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$

Perkalian Silang atau Cross Product

Perkalian silang antara dua vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ menghasilkan vektor yang hasil kali titiknya dengan masing-masing faktor bernilai nol:

(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{a}=(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{b}=0

Besar dari hasil perkalian silang adalah:

|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta

Pada rumus ini, $\theta$ adalah sudut antara kedua vektor.

Perkalian Silang Vektor

Arah kaidah tangan kanan dari

\vec{a}\times\vec{b}

, yang tegak lurus terhadap kedua vektor tak sejajar.

Aplikasi Vektor Tiga Dimensi

Vektor tiga dimensi memiliki banyak aplikasi dalam berbagai bidang:

Fisika: Untuk menggambarkan gaya, kecepatan, percepatan, dan momentum dalam ruang tiga dimensi
Grafika Komputer: Untuk merepresentasikan posisi dan pergerakan objek dalam ruang tiga dimensi
Robotika: Untuk mengontrol pergerakan robot dalam ruang
Navigasi: Untuk menentukan arah dan jarak dalam ruang tiga dimensi
Teknik Mesin: Untuk analisis struktur dan mekanika fluida