Vektor Satuan dari Suatu Vektor

Definisi Vektor Satuan

Vektor satuan adalah vektor yang memiliki panjang atau besar sama dengan $1 \text{ satuan}$ . Vektor satuan digunakan untuk menunjukkan arah dari suatu vektor dalam ruang. Jika kita memiliki sebuah vektor, kita dapat memperoleh vektor satuan yang searah dengan vektor tersebut dengan cara membagi vektor dengan panjangnya.

Konsep Dasar

Perhatikan vektor $\overrightarrow{PQ}$ yang berada pada sistem koordinat Kartesius. Vektor satuan dari $\overrightarrow{PQ}$ didefinisikan sebagai vektor $\overrightarrow{PQ}$ dibagi dengan panjangnya.

\vec{a}_{PQ} = \frac{\overrightarrow{PQ}}{|\overrightarrow{PQ}|}

Di mana $|\overrightarrow{PQ}|$ adalah panjang atau besar dari vektor $\overrightarrow{PQ}$ .

Vektor satuan selalu menunjukkan arah dari vektor aslinya, tetapi memiliki panjang yang dinormalisasi menjadi $1 \text{ satuan}$ .

Vektor dan Vektor Satuan

Visualisasi vektor asli dan vektor satuan yang memiliki arah sama namun panjang berbeda.

Menghitung Vektor Satuan

Langkah-langkah Perhitungan

Untuk menentukan vektor satuan dari suatu vektor, ikuti langkah-langkah berikut:

Tentukan vektor asal
Hitung panjang vektor tersebut
Bagi vektor dengan panjangnya

Contoh Penerapan

Misalkan kita memiliki vektor $\vec{v} = (3, 6, 4)$

Langkah pertama, kita hitung panjang vektor:

|\vec{v}| = \sqrt{3^2 + 6^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 36 + 16} = \sqrt{61}

Langkah kedua, kita bagi vektor dengan panjangnya:

\hat{v} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \frac{(3, 6, 4)}{\sqrt{61}}

Sehingga diperoleh:

\hat{v} = \left(\frac{3}{\sqrt{61}}, \frac{6}{\sqrt{61}}, \frac{4}{\sqrt{61}}\right)

Contoh Vektor Satuan dalam Ruang 3D

Visualisasi vektor

v(3,6,4)

dan vektor satuan

v̂

yang searah.

Sifat-sifat Vektor Satuan

Panjang Vektor Satuan

Vektor satuan selalu memiliki panjang sama dengan $1$ . Ini dapat dibuktikan dengan menghitung panjang dari vektor satuan:

|\hat{v}| = \sqrt{\left(\frac{3}{\sqrt{61}}\right)^2 + \left(\frac{6}{\sqrt{61}}\right)^2 + \left(\frac{4}{\sqrt{61}}\right)^2} = \sqrt{\frac{9 + 36 + 16}{61}} = \sqrt{\frac{61}{61}} = 1

Vektor Satuan pada Sumbu Koordinat

Dalam sistem koordinat tiga dimensi, terdapat tiga vektor satuan standar yang masing-masing sejajar dengan sumbu koordinat:

$\hat{\imath}$ adalah vektor satuan pada arah sumbu $x$
$\hat{\jmath}$ adalah vektor satuan pada arah sumbu $y$
$\hat{k}$ adalah vektor satuan pada arah sumbu $z$

Setiap vektor dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari ketiga vektor satuan ini.

Vektor Satuan Standar

Vektor satuan standar pada sumbu koordinat.

Aplikasi Vektor Satuan

Menunjukkan Arah

Vektor satuan sangat berguna untuk menunjukkan arah tanpa memperhatikan besar atau panjang. Dalam fisika, misalnya, vektor satuan sering digunakan untuk menunjukkan arah gaya, kecepatan, atau percepatan.

Perhitungan Fisika

Dalam fisika, ketika kita ingin mendekomposisi suatu vektor menjadi komponen-komponennya, vektor satuan sangat membantu. Misalnya, suatu gaya dapat didekomposisi menjadi komponen-komponen pada arah sumbu $x$ , $y$ , dan $z$ menggunakan vektor satuan.