Sistem Persamaan Linear

Mengenal Sistem Persamaan Linear

Bayangkan kamu sedang membuat resep kue. Kamu tahu kue tersebut membutuhkan telur dan tepung dengan jumlah tertentu. Namun, kamu hanya tahu total bahan dan perbandingannya. Ini mirip seperti sistem persamaan linear - kita mencari nilai yang tidak diketahui berdasarkan informasi yang saling berhubungan.

Apa Itu Sistem Persamaan Linear?

Sistem persamaan linear adalah kumpulan dua atau lebih persamaan linear yang harus dipenuhi secara bersamaan. Setiap persamaan linear berbentuk:

Dimana $a_1, a_2, ..., a_n$ adalah koefisien, $x_1, x_2, ..., x_n$ adalah variabel, dan $b$ adalah konstanta.

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Sistem persamaan linear dengan dua variabel terdiri dari dua persamaan dengan dua variabel (biasanya $x$ dan $y$). Bentuk umumnya:

Contoh:

Solusi dari sistem ini adalah pasangan nilai $(x,y)$ yang memenuhi kedua persamaan tersebut.

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Untuk tiga variabel, kita membutuhkan minimal tiga persamaan:

Contoh:

Metode Penyelesaian Sistem Persamaan Linear

Metode Substitusi

Metode substitusi bekerja dengan cara mengganti satu variabel dengan variabel lain. Mari kita selesaikan contoh berikut:

Langkah 1: Nyatakan satu variabel dari persamaan yang lebih sederhana.

Dari persamaan (2): $x + y = 10$, kita nyatakan $x$ dalam bentuk $y$:

Langkah 2: Substitusi ke persamaan lain.

Masukkan persamaan (3) ke persamaan (1):

Langkah 3: Selesaikan persamaan hasil substitusi.

Langkah 4: Substitusi balik untuk mendapatkan nilai variabel lainnya.

Substitusi nilai $y = 1$ dari persamaan (4) ke persamaan (3):

Jadi solusinya adalah $x = 9$ dan $y = 1$.

Metode Eliminasi

Metode eliminasi bekerja dengan cara menghilangkan salah satu variabel. Mari kita selesaikan contoh yang sama:

Langkah 1: Samakan koefisien salah satu variabel.

Kalikan persamaan (2) dengan 2 untuk menyamakan koefisien $x$:

Langkah 2: Eliminasi variabel dengan mengurangkan persamaan.

Langkah 3: Gunakan nilai $y$ untuk menemukan $x$.

Substitusi nilai $y = 1$ dari persamaan (4) ke persamaan (2):

Jadi solusinya adalah $x = 9$ dan $y = 1$.

Periksa:

• Persamaan (1): $2(9) + 3(1) = 18 + 3 = 21$ ✓
• Persamaan (2): $9 + 1 = 10$ ✓

Aplikasi dalam Kehidupan Sehari-hari

Pemodelan Matematika

Pemodelan matematika adalah proses mengubah masalah nyata menjadi bentuk matematika. Untuk sistem persamaan linear, kita:

1. Tentukan variabel yang digunakan
2. Buat model matematika berdasarkan informasi yang ada
3. Periksa apakah model tersebut merupakan sistem persamaan linear
4. Selesaikan model dengan metode yang sesuai
5. Interpretasikan solusi dalam konteks masalah asli

Skor dalam Basket

Dalam permainan bola basket, ada tiga jenis lemparan yang bernilai berbeda: lemparan bebas (1 poin), lemparan dalam daerah (2 poin), dan lemparan luar daerah (3 poin).

Misalkan:

• $a$ = banyaknya lemparan bernilai 1 poin
• $b$ = banyaknya lemparan bernilai 2 poin
• $c$ = banyaknya lemparan bernilai 3 poin

Jika Wijaya mencetak 27 poin, melakukan 16 lemparan dengan 6 di antaranya lemparan bebas, maka:

Dengan substitusi $a = 6$ ke persamaan kedua:

Substitusi ke persamaan pertama:

Dari dua persamaan:

Dengan metode eliminasi atau substitusi, diperoleh $b = 9$ dan $c = 1$.

Jadi, Wijaya melakukan 6 lemparan bebas, 9 lemparan 2 poin, dan 1 lemparan 3 poin.

Interpretasi Solusi

Sistem persamaan linear memiliki tiga kemungkinan solusi:

1. Tepat satu solusi: Ketika garis-garis berpotongan di satu titik (atau bidang-bidang berpotongan di satu titik)
2. Tidak ada solusi: Ketika garis-garis sejajar (atau bidang-bidang tidak berpotongan)
3. Banyak solusi: Ketika garis-garis berimpit (atau bidang-bidang berpotongan pada garis atau bidang)

Dalam tiga dimensi (tiga variabel), persamaan linear direpresentasikan sebagai bidang. Perpotongan dua bidang menghasilkan garis, dan perpotongan tiga bidang bisa berupa titik.

Visualisasi Sistem Persamaan Linear