Mengonstruksi Fungsi Kuadrat: Persamaan dan Fungsi Kuadrat - Matematika (Kelas 10)

Cara Menentukan Persamaan Fungsi Kuadrat

Mengonstruksi fungsi kuadrat berarti menentukan bentuk persamaan $f(x) = ax^2 + bx + c$ berdasarkan informasi yang diberikan. Ada beberapa cara berbeda untuk mengonstruksi fungsi kuadrat, tergantung pada informasi yang tersedia.

Bentuk-Bentuk Penulisan Fungsi Kuadrat

Sebelum kita mulai mengonstruksi fungsi kuadrat, mari kita pahami tiga bentuk penulisan fungsi kuadrat:

Bentuk Standar: $f(x) = ax^2 + bx + c$
Bentuk Faktor: $f(x) = a(x - p)(x - q)$ dimana $p$ dan $q$ adalah akar-akar persamaan
Bentuk Vertex: $f(x) = a(x - h)^2 + k$ dimana $(h, k)$ adalah titik puncak

Ketiga bentuk ini saling berhubungan dan dapat diubah dari satu bentuk ke bentuk lainnya.

Metode Mengonstruksi Fungsi Kuadrat

Tiga Titik

Cara paling umum untuk mengonstruksi fungsi kuadrat adalah dengan menggunakan tiga titik yang diketahui berada pada kurva.

Jika kita memiliki tiga titik $(x_1, y_1)$ , $(x_2, y_2)$ , dan $(x_3, y_3)$ , kita dapat memasukkan nilai-nilai ini ke dalam persamaan standar untuk mendapatkan tiga persamaan linear dengan tiga variabel $a$ , $b$ , dan $c$ .

y_1 = ax_1^2 + bx_1 + c

Contoh:

Carilah persamaan fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik $K(-1, 0)$ , $L(0, -3)$ , dan $M(1, -4)$ .

Masukkan nilai koordinat ke dalam persamaan standar.

K(-1, 0): 0 = a(-1)^2 + b(-1) + c

Sederhanakan persamaan-persamaan tersebut.

0 = a - b + c

Substitusi $c = -3$ ke persamaan pertama dan ketiga.

0 = a - b - 3

Sederhanakan dan jumlahkan kedua persamaan untuk menemukan nilai $a$ .

a - b = 3

Substitusi nilai $a$ ke persamaan $a - b = 3$ untuk menemukan nilai $b$ .

1 - b = 3

Fungsi kuadrat yang dihasilkan adalah:

f(x) = x^2 - 2x - 3

Grafik

f(x) = x^2 - 2x - 3

Parabola yang melalui titik

K(-1, 0)

L(0, -3)

, dan

M(1, -4)

Titik Puncak

Jika kita mengetahui koordinat titik puncak $(h, k)$ dan satu titik lain $(p, q)$ pada grafik, kita dapat menggunakan bentuk vertex $f(x) = a(x - h)^2 + k$ untuk menemukan nilai $a$ .

Contoh:

Temukan persamaan fungsi kuadrat yang memiliki titik puncak $(2, 0)$ dan melalui titik $(4, 4)$ .

Gunakan bentuk vertex $f(x) = a(x - h)^2 + k$ dengan $h = 2$ dan $k = 0$ .

f(x) = a(x - 2)^2 + 0 = a(x - 2)^2

Substitusi titik $(4, 4)$ untuk menemukan nilai $a$ .

4 = a(4 - 2)^2

Fungsi kuadrat yang dihasilkan adalah:

f(x) = (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4

Grafik

f(x) = (x - 2)^2

Parabola dengan titik puncak

(2, 0)

dan melalui titik

(4, 4)

Akar-Akar Persamaan

Jika kita mengetahui akar-akar (titik potong dengan sumbu $x$ ) $p$ dan $q$ dari fungsi kuadrat, dan satu titik tambahan $(r, s)$ pada kurva, kita dapat menggunakan bentuk faktor $f(x) = a(x - p)(x - q)$ .

Contoh:

Carilah persamaan fungsi kuadrat yang memiliki akar-akar $x = -2$ dan $x = 3$ , dan melalui titik $(1, -6)$ .

Gunakan bentuk faktor $f(x) = a(x - p)(x - q)$ dengan $p = -2$ dan $q = 3$ .

f(x) = a(x - (-2))(x - 3) = a(x + 2)(x - 3)

Substitusi titik $(1, -6)$ untuk menemukan nilai $a$ .

-6 = a(1 + 2)(1 - 3)

Fungsi kuadrat yang dihasilkan adalah:

f(x) = (x + 2)(x - 3) = x^2 - x - 6

Grafik

f(x) = (x + 2)(x - 3)

Parabola dengan akar-akar

x = -2

dan

x = 3

, melalui titik

(1, -6)

Sumbu Simetri dan Diskriminan

Kita juga dapat mengonstruksi fungsi kuadrat dengan mengetahui sumbu simetri (atau koordinat $x$ dari titik puncak) dan nilai diskriminan.

Contoh:

Temukan persamaan fungsi kuadrat dengan sumbu simetri $x = 1$ dan diskriminan $D = 16$ .

Dari sumbu simetri $x = 1$ , kita tahu bahwa $-\frac{b}{2a} = 1$ , sehingga $b = -2a$ .

Dari diskriminan $D = 16$ , kita tahu bahwa $b^2 - 4ac = 16$ .

Substitusi $b = -2a$ ke persamaan diskriminan.

(-2a)^2 - 4ac = 16

Ada banyak nilai $a$ dan $c$ yang memenuhi persamaan ini. Mari kita ambil kasus sederhana dengan $a = 1$ .

1(1 - c) = 4

Dengan $a = 1$ , $b = -2$ , dan $c = -3$ , fungsi kuadrat yang dihasilkan adalah:

f(x) = x^2 - 2x - 3

Koordinat Simetris

Kita dapat mengonstruksi fungsi kuadrat dengan memanfaatkan sifat simetri dari parabola.

Contoh:

Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang melalui titik-titik $(0, 0)$ , $(4, 1)$ , dan $(-4, 1)$ .

Karena titik $(4, 1)$ dan $(-4, 1)$ memiliki nilai $y$ yang sama dan berada pada jarak yang sama dari sumbu $y$ , maka kurva simetris terhadap sumbu $y$ . Ini berarti sumbu simetrinya adalah $x = 0$ , dan puncaknya terletak di $(0, 0)$ .

Gunakan bentuk vertex $f(x) = a(x - h)^2 + k$ dengan $h = 0$ dan $k = 0$ .

f(x) = ax^2

Substitusi titik $(4, 1)$ untuk menemukan nilai $a$ .

1 = a(4)^2

Fungsi kuadrat yang dihasilkan adalah:

f(x) = \frac{1}{16}x^2

Grafik

f(x) = \frac{1}{16}x^2

Parabola melalui titik

(0, 0)

(4, 1)

, dan

(-4, 1)

Transformasi Antar Bentuk Fungsi Kuadrat

Bentuk Standar ke Bentuk Vertex

Untuk mengubah $f(x) = ax^2 + bx + c$ menjadi bentuk vertex $f(x) = a(x - h)^2 + k$ :

Tentukan koordinat $x$ dari titik puncak: $h = -\frac{b}{2a}$
Hitung nilai fungsi di titik puncak: $k = f(h) = f(-\frac{b}{2a})$
Atau gunakan rumus: $k = c - \frac{b^2}{4a}$

Bentuk Standar ke Bentuk Faktor

Untuk mengubah $f(x) = ax^2 + bx + c$ menjadi bentuk faktor $f(x) = a(x - p)(x - q)$ :

Tentukan akar-akar persamaan $ax^2 + bx + c = 0$ menggunakan rumus:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
Jika akar-akarnya adalah $p$ dan $q$ , maka:

$f(x) = a(x - p)(x - q)$

Bentuk Faktor ke Bentuk Standar

Untuk mengubah $f(x) = a(x - p)(x - q)$ menjadi bentuk standar $f(x) = ax^2 + bx + c$ :

f(x) = a(x - p)(x - q)

Dengan membandingkan dengan bentuk standar, kita mendapatkan:

$b = -a(p+q)$
$c = apq$

Latihan dan Penyelesaian

Latihan 1

Temukan persamaan fungsi kuadrat yang melalui titik $(-2, 4)$ , $(1, -5)$ , dan $(3, 7)$ .

Jawaban:

Masukkan titik-titik ke persamaan standar:

4 = a(-2)^2 + b(-2) + c = 4a - 2b + c

Dari persamaan kedua, $c = -5 - a - b$ . Substitusi ke persamaan pertama, lalu selesaikan:

4 = 4a - 2b + (-5 - a - b)

Substitusi ke persamaan ketiga:

7 = 9(3 + b) + 3b + (-5 - (3 + b) - b)

Kemudian:

a = 3 + (-\frac{6}{5}) = \frac{9}{5}

Jadi, persamaan fungsi kuadratnya adalah:

f(x) = \frac{9}{5}x^2 - \frac{6}{5}x - \frac{28}{5}

Latihan 2

Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang memiliki titik puncak $(-1, 4)$ dan melalui titik $(2, -5)$ .

Jawaban:

Gunakan bentuk vertex dengan $h = -1$ dan $k = 4$ :

f(x) = a(x - (-1))^2 + 4 = a(x + 1)^2 + 4

Substitusi titik $(2, -5)$ :

-5 = a(2 + 1)^2 + 4

Jadi, persamaan fungsi kuadratnya adalah:

f(x) = -(x + 1)^2 + 4 = -x^2 - 2x + 3

Latihan 3

Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang memiliki akar-akar $x = -3$ dan $x = 2$ , dan memiliki nilai maksimum $4$ .

Jawaban:

Gunakan bentuk faktor dengan $p = -3$ dan $q = 2$ :

f(x) = a(x - (-3))(x - 2) = a(x + 3)(x - 2)

Karena fungsi memiliki nilai maksimum, maka $a < 0$ .

Titik puncak berada di $x = \frac{p + q}{2} = \frac{-3 + 2}{2} = -\frac{1}{2}$ .

Substitusi $x = -\frac{1}{2}$ ke bentuk faktor dan gunakan bahwa nilai maksimum adalah $4$ :

f(-\frac{1}{2}) = a(-\frac{1}{2} + 3)(-\frac{1}{2} - 2) = -a\frac{25}{4} = 4

Jadi, persamaan fungsi kuadratnya adalah:

f(x) = -\frac{16}{25}(x + 3)(x - 2) = -\frac{16}{25}x^2 - \frac{16}{25}x + \frac{96}{25}

Cara Menentukan Persamaan Fungsi Kuadrat

Bentuk-Bentuk Penulisan Fungsi Kuadrat

Sebelum kita mulai mengonstruksi fungsi kuadrat, mari kita pahami tiga bentuk penulisan fungsi kuadrat:

Bentuk Standar: $f(x) = ax^2 + bx + c$
Bentuk Faktor: $f(x) = a(x - p)(x - q)$ dimana $p$ dan $q$ adalah akar-akar persamaan
Bentuk Vertex: $f(x) = a(x - h)^2 + k$ dimana $(h, k)$ adalah titik puncak

Ketiga bentuk ini saling berhubungan dan dapat diubah dari satu bentuk ke bentuk lainnya.

Metode Mengonstruksi Fungsi Kuadrat

Tiga Titik

Cara paling umum untuk mengonstruksi fungsi kuadrat adalah dengan menggunakan tiga titik yang diketahui berada pada kurva.

y_1 = ax_1^2 + bx_1 + c

Contoh:

Carilah persamaan fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik $K(-1, 0)$ , $L(0, -3)$ , dan $M(1, -4)$ .

Masukkan nilai koordinat ke dalam persamaan standar.

K(-1, 0): 0 = a(-1)^2 + b(-1) + c

Sederhanakan persamaan-persamaan tersebut.

0 = a - b + c

Substitusi $c = -3$ ke persamaan pertama dan ketiga.

0 = a - b - 3

Sederhanakan dan jumlahkan kedua persamaan untuk menemukan nilai $a$ .

a - b = 3

Substitusi nilai $a$ ke persamaan $a - b = 3$ untuk menemukan nilai $b$ .

1 - b = 3

Fungsi kuadrat yang dihasilkan adalah:

f(x) = x^2 - 2x - 3

Grafik

f(x) = x^2 - 2x - 3

Parabola yang melalui titik

K(-1, 0)

L(0, -3)

, dan

M(1, -4)

Titik Puncak

Jika kita mengetahui koordinat titik puncak $(h, k)$ dan satu titik lain $(p, q)$ pada grafik, kita dapat menggunakan bentuk vertex $f(x) = a(x - h)^2 + k$ untuk menemukan nilai $a$ .

Contoh:

Temukan persamaan fungsi kuadrat yang memiliki titik puncak $(2, 0)$ dan melalui titik $(4, 4)$ .

Gunakan bentuk vertex $f(x) = a(x - h)^2 + k$ dengan $h = 2$ dan $k = 0$ .

f(x) = a(x - 2)^2 + 0 = a(x - 2)^2

Substitusi titik $(4, 4)$ untuk menemukan nilai $a$ .

4 = a(4 - 2)^2

Fungsi kuadrat yang dihasilkan adalah:

f(x) = (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4

Grafik

f(x) = (x - 2)^2

Parabola dengan titik puncak

(2, 0)

dan melalui titik

(4, 4)

Akar-Akar Persamaan

Contoh:

Carilah persamaan fungsi kuadrat yang memiliki akar-akar $x = -2$ dan $x = 3$ , dan melalui titik $(1, -6)$ .

Gunakan bentuk faktor $f(x) = a(x - p)(x - q)$ dengan $p = -2$ dan $q = 3$ .

f(x) = a(x - (-2))(x - 3) = a(x + 2)(x - 3)

Substitusi titik $(1, -6)$ untuk menemukan nilai $a$ .

-6 = a(1 + 2)(1 - 3)

Fungsi kuadrat yang dihasilkan adalah:

f(x) = (x + 2)(x - 3) = x^2 - x - 6

Grafik

f(x) = (x + 2)(x - 3)

Parabola dengan akar-akar

x = -2

dan

x = 3

, melalui titik

(1, -6)

Sumbu Simetri dan Diskriminan

Kita juga dapat mengonstruksi fungsi kuadrat dengan mengetahui sumbu simetri (atau koordinat $x$ dari titik puncak) dan nilai diskriminan.

Contoh:

Temukan persamaan fungsi kuadrat dengan sumbu simetri $x = 1$ dan diskriminan $D = 16$ .

Dari sumbu simetri $x = 1$ , kita tahu bahwa $-\frac{b}{2a} = 1$ , sehingga $b = -2a$ .

Dari diskriminan $D = 16$ , kita tahu bahwa $b^2 - 4ac = 16$ .

Substitusi $b = -2a$ ke persamaan diskriminan.

(-2a)^2 - 4ac = 16

Ada banyak nilai $a$ dan $c$ yang memenuhi persamaan ini. Mari kita ambil kasus sederhana dengan $a = 1$ .

1(1 - c) = 4

Dengan $a = 1$ , $b = -2$ , dan $c = -3$ , fungsi kuadrat yang dihasilkan adalah:

f(x) = x^2 - 2x - 3

Koordinat Simetris

Kita dapat mengonstruksi fungsi kuadrat dengan memanfaatkan sifat simetri dari parabola.

Contoh:

Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang melalui titik-titik $(0, 0)$ , $(4, 1)$ , dan $(-4, 1)$ .

Gunakan bentuk vertex $f(x) = a(x - h)^2 + k$ dengan $h = 0$ dan $k = 0$ .

f(x) = ax^2

Substitusi titik $(4, 1)$ untuk menemukan nilai $a$ .

1 = a(4)^2

Fungsi kuadrat yang dihasilkan adalah:

f(x) = \frac{1}{16}x^2

Grafik

f(x) = \frac{1}{16}x^2

Parabola melalui titik

(0, 0)

(4, 1)

, dan

(-4, 1)

Transformasi Antar Bentuk Fungsi Kuadrat

Bentuk Standar ke Bentuk Vertex

Untuk mengubah $f(x) = ax^2 + bx + c$ menjadi bentuk vertex $f(x) = a(x - h)^2 + k$ :

Tentukan koordinat $x$ dari titik puncak: $h = -\frac{b}{2a}$
Hitung nilai fungsi di titik puncak: $k = f(h) = f(-\frac{b}{2a})$
Atau gunakan rumus: $k = c - \frac{b^2}{4a}$

Bentuk Standar ke Bentuk Faktor

Untuk mengubah $f(x) = ax^2 + bx + c$ menjadi bentuk faktor $f(x) = a(x - p)(x - q)$ :

Tentukan akar-akar persamaan $ax^2 + bx + c = 0$ menggunakan rumus:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
Jika akar-akarnya adalah $p$ dan $q$ , maka:

$f(x) = a(x - p)(x - q)$

Bentuk Faktor ke Bentuk Standar

Untuk mengubah $f(x) = a(x - p)(x - q)$ menjadi bentuk standar $f(x) = ax^2 + bx + c$ :

f(x) = a(x - p)(x - q)

Dengan membandingkan dengan bentuk standar, kita mendapatkan:

$b = -a(p+q)$
$c = apq$

Latihan dan Penyelesaian

Latihan 1

Temukan persamaan fungsi kuadrat yang melalui titik $(-2, 4)$ , $(1, -5)$ , dan $(3, 7)$ .

Jawaban:

Masukkan titik-titik ke persamaan standar:

4 = a(-2)^2 + b(-2) + c = 4a - 2b + c

Dari persamaan kedua, $c = -5 - a - b$ . Substitusi ke persamaan pertama, lalu selesaikan:

4 = 4a - 2b + (-5 - a - b)

Substitusi ke persamaan ketiga:

7 = 9(3 + b) + 3b + (-5 - (3 + b) - b)

Kemudian:

a = 3 + (-\frac{6}{5}) = \frac{9}{5}

Jadi, persamaan fungsi kuadratnya adalah:

f(x) = \frac{9}{5}x^2 - \frac{6}{5}x - \frac{28}{5}

Latihan 2

Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang memiliki titik puncak $(-1, 4)$ dan melalui titik $(2, -5)$ .

Jawaban:

Gunakan bentuk vertex dengan $h = -1$ dan $k = 4$ :

f(x) = a(x - (-1))^2 + 4 = a(x + 1)^2 + 4

Substitusi titik $(2, -5)$ :

-5 = a(2 + 1)^2 + 4

Jadi, persamaan fungsi kuadratnya adalah:

f(x) = -(x + 1)^2 + 4 = -x^2 - 2x + 3

Latihan 3

Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang memiliki akar-akar $x = -3$ dan $x = 2$ , dan memiliki nilai maksimum $4$ .

Jawaban:

Gunakan bentuk faktor dengan $p = -3$ dan $q = 2$ :

f(x) = a(x - (-3))(x - 2) = a(x + 3)(x - 2)

Karena fungsi memiliki nilai maksimum, maka $a < 0$ .

Titik puncak berada di $x = \frac{p + q}{2} = \frac{-3 + 2}{2} = -\frac{1}{2}$ .

Substitusi $x = -\frac{1}{2}$ ke bentuk faktor dan gunakan bahwa nilai maksimum adalah $4$ :

f(-\frac{1}{2}) = a(-\frac{1}{2} + 3)(-\frac{1}{2} - 2) = -a\frac{25}{4} = 4

Jadi, persamaan fungsi kuadratnya adalah:

f(x) = -\frac{16}{25}(x + 3)(x - 2) = -\frac{16}{25}x^2 - \frac{16}{25}x + \frac{96}{25}

Command Palette

Command Palette