Menentukan Luas Maksimum

Apa itu Luas Maksimum?

Pernah lihat pagar kebun? Kadang, kita punya pagar yang panjangnya terbatas, tapi kita mau bikin kebun seluas-luasnya. Nah, fungsi kuadrat bisa bantu kita cari tahu ukuran kebun biar luasnya paling besar! Ajaib, kan?

Jenis Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat itu bentuknya kayak senyum ($ax^2 + bx + c$ kalau $a > 0$) atau cemberut ($ax^2 + bx + c$ kalau $a < 0$).

Kalau kita mau cari nilai paling besar (maksimum), kita pakai yang bentuknya cemberut, jadi nilai $a$ nya negatif ($a < 0$).

Bentuk umumnya:

Di sini, $a$, $b$, dan $c$ itu angka-angka, dan $a$ tidak boleh nol ya (karena kalau nol, bentuknya jadi linear).

Cara Cari Titik Paling Atas (Puncak)

Nilai paling besar itu ada di titik paling atas dari grafik yang cemberut tadi. Titik ini namanya titik puncak atau vertex.

Untuk mencari posisi titik puncak (nilai $x$ nya), kita pakai rumus:

Setelah dapat $x_p$, kita masukkan lagi ke fungsi kuadratnya untuk dapat nilai paling besarnya (nilai $y$ atau $f(x)$ nya):

Atau bisa juga pakai rumus cepat ini:

dengan $D = b^2 - 4ac$ (D itu namanya diskriminan).

Contoh Biar Ngerti

Misalnya, Pak Tani punya pagar 20 meter. Dia mau buat kandang ayam bentuk persegi panjang. Berapa ukuran kandang biar luasnya paling besar?

1. Bikin Nama: Misal panjangnya $p$ meter dan lebarnya $l$ meter.

2. Hubungan Panjang Pagar: Pagar itu kelilingnya.

   $$2p + 2l = 20$$

   Sederhanakan (dibagi 2 semua):

   $$p + l = 10$$

   Artinya:

   $$p = 10 - l$$

3. Rumus Luas: Luas kandang $A = p \times l$. Kita ganti $p$:

   $$A(l) = (10 - l) \times l$$

   $$A(l) = 10l - l^2$$

4. Bentuk Fungsi Kuadrat: Urutkan biar rapi:

   $$A(l) = -l^2 + 10l$$

   Ini fungsi kuadrat dengan $a = -1$, $b = 10$ , dan $c = 0$. Karena $a$ negatif, grafiknya cemberut, jadi ada nilai maksimum.

5. Cari Lebar Maksimum (l): Pakai rumus $x_p = -b / (2a)$ (tapi $x$ nya kita ganti $l$):

   $$l_p = -\frac{b}{2a} = -\frac{10}{2 \times (-1)} = -\frac{10}{-2} = 5$$

   Jadi, lebarnya harus 5 meter biar luasnya maksimal.

6. Cari Luas Maksimum (A): Masukkan $l = 5$ ke rumus luas $A(l) = 10l - l^2$:

   $$A(5) = 10(5) - (5)^2 = 50 - 25 = 25$$

   Luas paling besarnya adalah 25 meter persegi.

7. Kesimpulan: Biar luas kandang maksimal (25 m²), lebarnya $l=5$ meter. Panjangnya $p = 10 - l = 10 - 5 = 5$ meter. Ukurannya harus 5 meter x 5 meter (ternyata bentuknya persegi!).

Dipakai Dimana Aja Sih?

Bisnis

Mencari keuntungan paling besar.

Contoh:

Sebuah toko mainan menjual boneka. Jika menjual $x$ boneka, keuntungannya (dalam ribu rupiah) adalah $K(x) = 100x - 2x^2$. Berapa boneka harus dijual agar untungnya maksimal?

• Fungsi keuntungan: $K(x) = -2x^2 + 100x$ ($a=-2, b=100$).
• Jumlah boneka agar untung maks: $x_p = -b / (2a) = -100 / (2 \times -2) = -100 / -4 = 25$ boneka.
• Untung maksimalnya: $K(25) = 100(25) - 2(25^2) = 2500 - 2(625) = 2500 - 1250 = 1250$ ribu rupiah (atau Rp 1.250.000).

Fisika

Menghitung tinggi lompatan paling tinggi suatu benda yang dilempar.

Contoh:

Roket mainan terbang! Tingginya setelah $t$ detik adalah $h(t) = 40t - 5t^2$ meter. Kapan roket paling tinggi dan berapa tingginya?

• Fungsi kuadratnya: $h(t) = -5t^2 + 40t$. $a = -5, b = 40$.
• Waktu paling tinggi: $t_p = -b / (2a) = -40 / (2 \times -5) = -40 / -10 = 4$ detik.
• Tinggi paling tinggi: $h(4) = 40(4) - 5(4^2) = 160 - 5(16) = 160 - 80 = 80$ meter.

Latihan

Sebuah persegi panjang punya keliling 60 cm. Tentukan ukuran panjang dan lebarnya agar luasnya maksimum, dan hitung luas maksimumnya!

Kunci Jawaban

1. Misal panjang $p$, lebar $l$.

2. Keliling:

   $$2p + 2l = 60$$

   $$p + l = 30$$

   $$p = 30 - l$$

3. Luas:

   $$L(l) = p \times l = (30 - l)l$$

   $$L(l) = 30l - l^2$$

4. Fungsi Luas:

   $$L(l) = -l^2 + 30l$$

   ($a = -1, b = 30$).

5. Lebar untuk luas maks ($l_p$):

   $$l_p = -b / (2a) = -30 / (2 \times -1) = -30 / -2 = 15 \text{ cm}$$

6. Panjang saat luas maks ($p$):

   $$p = 30 - l = 30 - 15 = 15 \text{ cm}$$

7. Luas maksimum ($L_{maks}$):

   $$L(15) = 30(15) - (15)^2 = 450 - 225 = 225 \text{ cm}^2$$

Jadi, agar luasnya maksimum ($L_{maks} = 225 \text{ cm}^2$), ukurannya harus 15 cm x 15 cm (bentuk persegi lagi!).