Vektor Tiga Dimensi

Pengertian Vektor Tiga Dimensi

Vektor tiga dimensi adalah besaran yang memiliki nilai dan arah dalam ruang tiga dimensi. Berbeda dengan vektor dua dimensi yang hanya berada pada bidang datar (sumbu x dan y), vektor tiga dimensi berada dalam ruang dengan tiga sumbu koordinat (sumbu x, y, dan z).

Representasi Vektor Tiga Dimensi

Notasi Vektor Tiga Dimensi

Vektor tiga dimensi dapat dinotasikan dengan berbagai cara:

1. Notasi huruf dengan tanda panah di atasnya: $\vec{a}$ atau $\overrightarrow{PQ}$
2. Notasi komponen: $(a_x, a_y, a_z)$ atau $(a_1, a_2, a_3)$
3. Notasi basis: $a_x\vec{i} + a_y\vec{j} + a_z\vec{k}$

Komponen Vektor Tiga Dimensi

Vektor dalam ruang tiga dimensi terdiri dari tiga komponen yang menunjukkan proyeksi vektor pada masing-masing sumbu koordinat:

dimana:

• $a_x$ adalah komponen vektor pada sumbu $x$
• $a_y$ adalah komponen vektor pada sumbu $y$
• $a_z$ adalah komponen vektor pada sumbu $z$
• $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ adalah vektor satuan pada sumbu $x$, $y$, dan $z$

Panjang Vektor Tiga Dimensi

Panjang atau besar vektor tiga dimensi $\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)$ ditentukan dengan rumus:

Contoh:

Jika $\vec{a} = (3, 4, 5)$, maka panjang vektor $\vec{a}$ adalah:

Operasi Vektor Tiga Dimensi

Penjumlahan dan Pengurangan Vektor

Penjumlahan dan pengurangan vektor tiga dimensi dilakukan dengan menjumlahkan atau mengurangkan komponen-komponen yang bersesuaian.

Jika $\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)$ dan $\vec{b} = (b_x, b_y, b_z)$, maka:

Perkalian Skalar dengan Vektor

Perkalian skalar $k$ dengan vektor $\vec{a}$ menghasilkan vektor baru dengan arah yang sama (jika $k > 0$) atau berlawanan (jika $k < 0$) dan panjang $|k|$ kali panjang $\vec{a}$.

Perkalian Titik (Dot Product)

Perkalian titik antara dua vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ menghasilkan skalar yang didefinisikan sebagai:

dimana $\theta$ adalah sudut antara kedua vektor.

Perkalian titik memiliki sifat:

1. $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$ (komutatif)
2. $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ jika dan hanya jika $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ saling tegak lurus (ortogonal)
3. $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$

Perkalian Silang (Cross Product)

Perkalian silang antara dua vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ menghasilkan vektor baru $\vec{c}$ yang tegak lurus terhadap kedua vektor tersebut.

Besar dari hasil perkalian silang adalah:

dimana $\theta$ adalah sudut antara kedua vektor.

Aplikasi Vektor Tiga Dimensi

Vektor tiga dimensi memiliki banyak aplikasi dalam berbagai bidang:

1. Fisika: Untuk menggambarkan gaya, kecepatan, percepatan, dan momentum dalam ruang tiga dimensi
2. Grafika Komputer: Untuk merepresentasikan posisi dan pergerakan objek dalam ruang tiga dimensi
3. Robotika: Untuk mengontrol pergerakan robot dalam ruang
4. Navigasi: Untuk menentukan arah dan jarak dalam ruang tiga dimensi
5. Teknik Mesin: Untuk analisis struktur dan mekanika fluida