Vektor Ekuivalen

Definisi Vektor Ekuivalen

Dua buah vektor dikatakan ekuivalen jika memiliki besar (panjang) dan arah yang sama. Secara matematis, dua vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ dikatakan ekuivalen jika komponen-komponennya sama. Dalam notasi matematika, dapat ditulis $\vec{a} \equiv \vec{b}$.

Vektor ekuivalen bisa memiliki posisi yang berbeda dalam bidang atau ruang, tetapi tetap memiliki besar dan arah yang sama.

Syarat Vektor Ekuivalen

Dua buah vektor $\overrightarrow{CD}$ dan $\overrightarrow{PQ}$ dikatakan ekuivalen jika:

1. Panjang kedua vektor sama: $|\overrightarrow{CD}| = |\overrightarrow{PQ}|$
2. Arah kedua vektor sama

Representasi Vektor Ekuivalen

Dalam Bentuk Komponen

Pada bidang Kartesius dua dimensi, dua vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ ekuivalen jika:

dimana $a_1 = b_1$ dan $a_2 = b_2$

Pada ruang tiga dimensi, vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ ekuivalen jika:

dimana $a_1 = b_1$, $a_2 = b_2$, dan $a_3 = b_3$

Dalam Bentuk Titik Pangkal dan Ujung

Jika vektor $\overrightarrow{AB}$ memiliki titik pangkal $A(x_1, y_1)$ dan titik ujung $B(x_2, y_2)$, maka vektor dapat dinyatakan sebagai:

Dua vektor $\overrightarrow{AB}$ dan $\overrightarrow{CD}$ ekuivalen jika:

dimana $C(x_3, y_3)$ dan $D(x_4, y_4)$

Sifat-Sifat Vektor Ekuivalen

Sifat Refleksif

Setiap vektor ekuivalen dengan dirinya sendiri.

Sifat Simetris

Jika vektor $\vec{a}$ ekuivalen dengan vektor $\vec{b}$, maka vektor $\vec{b}$ juga ekuivalen dengan vektor $\vec{a}$.

Sifat Transitif

Jika vektor $\vec{a}$ ekuivalen dengan vektor $\vec{b}$ dan vektor $\vec{b}$ ekuivalen dengan vektor $\vec{c}$, maka vektor $\vec{a}$ ekuivalen dengan vektor $\vec{c}$.

Contoh Vektor Ekuivalen

Contoh 1

Vektor $\overrightarrow{AB}$ dengan $A(2, 3)$ dan $B(5, 7)$ ekuivalen dengan vektor $\overrightarrow{CD}$ dengan $C(1, 1)$ dan $D(4, 5)$.

Pembuktian:

Karena $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} = (3, 4)$, maka vektor $\overrightarrow{AB}$ ekuivalen dengan vektor $\overrightarrow{CD}$.

Contoh 2

Vektor $\overrightarrow{PQ}$ dengan $P(0, 0)$ dan $Q(2, 2)$ ekuivalen dengan vektor $\overrightarrow{RS}$ dengan $R(3, 1)$ dan $S(5, 3)$.

Pembuktian:

Karena $\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{RS} = (2, 2)$, maka vektor $\overrightarrow{PQ}$ ekuivalen dengan vektor $\overrightarrow{RS}$.

Aplikasi Vektor Ekuivalen

Konsep vektor ekuivalen sangat penting dalam berbagai aplikasi, termasuk:

1. Dalam fisika, untuk menghitung perpindahan, kecepatan, dan percepatan benda
2. Dalam navigasi, untuk menentukan arah dan jarak perjalanan
3. Dalam grafika komputer, untuk transformasi objek
4. Dalam teknik elektro, untuk representasi gaya magnetik dan listrik