Komponen Vektor

Pengertian Komponen Vektor

Dalam mempelajari vektor, kita perlu memahami bahwa setiap vektor dapat diuraikan menjadi komponen-komponennya. Komponen vektor merupakan bagian dari vektor yang searah dengan sumbu koordinat.

Komponen vektor adalah nilai-nilai yang menunjukkan seberapa jauh suatu vektor bergerak pada arah sumbu x dan sumbu y. Setiap vektor di bidang datar dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor satuan $i$ dan $j$ .

Visualisasi Vektor dan Komponennya

Vector

AB

and its components on the

x

y

, and

z

axes.

Jika kita memiliki vektor $\overrightarrow{AB}$ , maka:

\overrightarrow{AB} = a\cdot i + b\cdot j

dimana:

$a$ adalah komponen vektor pada sumbu x (horizontal)
$b$ adalah komponen vektor pada sumbu y (vertikal)
$i$ adalah vektor satuan arah sumbu x
$j$ adalah vektor satuan arah sumbu y

Contoh Komponen Vektor

Perhatikan vektor $\overrightarrow{AB}$ pada gambar. Vektor ini dapat ditulis sebagai:

\overrightarrow{AB} = 6i + 8j

Ini berarti vektor $\overrightarrow{AB}$ memiliki komponen horizontal sebesar 6 satuan ke arah kanan dan komponen vertikal sebesar 8 satuan ke arah atas.

Panjang Vektor dari Komponen-komponennya

Ketika kita telah mengetahui komponen-komponen suatu vektor, kita dapat menghitung panjang atau besar vektor tersebut menggunakan teorema Pythagoras.

Panjang vektor $\overrightarrow{AB}$ dilambangkan dengan $|\overrightarrow{AB}|$ dan dihitung dengan rumus:

|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{a^2 + b^2}

dimana $a$ dan $b$ adalah komponen-komponen vektor tersebut.

Contoh Perhitungan Panjang Vektor

Untuk vektor $\overrightarrow{AB} = 6i + 8j$ , panjang vektornya adalah:

|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10

Jadi, panjang vektor $\overrightarrow{AB}$ adalah 10 satuan.

Vektor dalam Ruang Tiga Dimensi

Vektor tidak hanya terbatas pada bidang datar (dua dimensi), tetapi juga dapat diperluas ke ruang tiga dimensi.

Vektor dalam Ruang 3D

Visualisasi vektor beserta komponennya dalam ruang tiga dimensi.

Dalam ruang tiga dimensi, sebuah vektor memiliki tiga komponen: komponen x, komponen y, dan komponen z. Vektor di ruang tiga dimensi dapat dinyatakan sebagai:

\overrightarrow{v} = ai + bj + ck

dimana:

$a$ adalah komponen vektor pada sumbu x
$b$ adalah komponen vektor pada sumbu y
$c$ adalah komponen vektor pada sumbu z
$i$ , $j$ , dan $k$ adalah vektor satuan arah sumbu x, y, dan z

Panjang vektor dalam ruang tiga dimensi dihitung dengan rumus:

|\overrightarrow{v}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}

Vektor Satuan Arah

Untuk menentukan arah dari suatu vektor, kita dapat menggunakan vektor satuan. Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya 1 satuan. Untuk mendapatkan vektor satuan dari sebuah vektor, kita membagi vektor tersebut dengan panjangnya.

Vektor satuan arah dari $\overrightarrow{AB}$ dilambangkan dengan $\hat{AB}$ dan dihitung dengan:

\hat{AB} = \frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}

Contoh Vektor Satuan Arah

Untuk vektor $\overrightarrow{AB} = 6i + 8j$ dengan panjang 10, vektor satuan arahnya adalah:

\hat{AB} = \frac{6i + 8j}{10} = \frac{6}{10}i + \frac{8}{10}j = 0.6i + 0.8j

Vektor satuan ini menunjukkan arah dari vektor $\overrightarrow{AB}$ tanpa memperhatikan besarnya.

Aplikasi Komponen Vektor

Komponen vektor memiliki banyak aplikasi dalam kehidupan sehari-hari, seperti:

Menghitung kecepatan dan perpindahan dalam fisika
Menganalisis gaya dalam mekanika
Menentukan arah dan besar resultan dalam pergerakan objek
Navigasi dan penentuan posisi dalam sistem koordinat

Dengan memahami komponen vektor, kita dapat menganalisis berbagai masalah yang melibatkan arah dan besaran dalam matematika dan ilmu terapan lainnya.

Command Palette