Vektor dan Sistem Koordinat

Sistem Koordinat Kartesius

Untuk menyatakan posisi suatu objek, seperti pesawat terbang yang sedang mengudara, kita memerlukan sebuah kerangka acuan atau sistem koordinat. Sistem yang paling umum digunakan adalah Sistem Koordinat Kartesius, yang dicetuskan oleh René Descartes.

Sistem Koordinat Kartesius menggunakan sumbu-sumbu yang saling tegak lurus untuk menentukan lokasi suatu titik.

• Pada dua dimensi (2D), kita menggunakan sumbu $x$ (horizontal) dan sumbu $y$ (vertikal). Posisi titik dinyatakan sebagai pasangan terurut $(x, y)$, contohnya titik $P(3, 4)$.

  Artinya, titik $P$ berada $3$ satuan ke kanan (sumbu $x$ positif) dan $4$ satuan ke atas (sumbu $y$ positif) dari titik asal $O(0, 0)$.

  Vektor Posisi $P(3, 4)$

  Titik asal $O(0, 0)$ menuju titik $P(3, 4)$

• Pada tiga dimensi (3D), kita menambahkan sumbu $z$ yang tegak lurus terhadap bidang $xy$. Posisi titik dinyatakan sebagai $(x, y, z)$, seperti untuk menentukan posisi pesawat di udara.

  Kita bisa menganalogikan $x$ sebagai panjang, $y$ sebagai lebar, dan $z$ sebagai tinggi.

  Vektor Posisi $P(3, 4, 5)$

  Titik asal $O(0, 0, 0)$ menuju titik $P(3, 4, 5)$

  Toggle GridToggle Play

Beda Vektor dan Koordinat

Berbeda dengan koordinat yang menyatakan posisi suatu titik, vektor adalah besaran yang memiliki besar (panjang) dan arah. Bayangkan seekor lalat yang terbang dari titik $P(3, 4)$ ke titik $Q(-2, -8)$. Perpindahan lalat tersebut dapat digambarkan sebagai sebuah vektor.

• Vektor Posisi: Vektor yang dimulai dari titik asal $O(0, 0)$ ke suatu titik $P(x, y)$. Vektor posisi $P$ ditulis sebagai $\overrightarrow{OP}$.

  Contohnya: $\overrightarrow{OP} = (3, 4)$.

• Vektor Perpindahan (atau Vektor Bebas): Vektor yang menghubungkan dua titik sembarang, misalnya dari titik $P(x_P, y_P)$ ke titik $Q(x_Q, y_Q)$. Vektor ini ditulis sebagai $\overrightarrow{PQ}$. Vektor ini tidak harus dimulai dari titik asal.

  Contohnya: vektor perpindahan dari $P(3, 4)$ ke $Q(-2, -8)$ atau dari $Q(-2, -8)$ ke $R(1, 3)$.

  Vektor Perpindahan

  Vektor perpindahan dari P ke Q atau dari Q ke R

Cara Penulisan Vektor

Vektor dapat ditulis dalam beberapa cara:

• Vektor Baris: Menggunakan tanda kurung biasa.

  Contoh: $\overrightarrow{OP} = (3, 4)$.

• Vektor Kolom: Menggunakan tanda kurung siku atau kurung besar.

  Contoh: $\overrightarrow{OP} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$.

• Vektor Satuan (untuk 3D): Menggunakan kombinasi vektor satuan $\mathbf{i}$, $\mathbf{j}$, dan $\mathbf{k}$ yang searah dengan sumbu $x$, $y$, dan $z$.

  Contoh: sebuah vektor $\overrightarrow{AB}$ dapat ditulis sebagai $\mathbf{i} - 3\mathbf{j} - 4\mathbf{k}$, artinya vektor $\overrightarrow{AB}$ memiliki komponen $1$ pada arah $x$, $-3$ pada arah $y$, dan $-4$ pada arah $z$.

Mengapa Sistem Koordinat Penting?

Coba bayangkan aplikasi peta di ponselmu. Aplikasi tersebut mengandalkan sistem koordinat untuk:

1. Menentukan lokasimu saat ini.
2. Mencari lokasi tujuanmu.
3. Menghitung rute terpendek atau tercepat.
4. Memberikan instruksi arah (belok kiri, belok kanan, lurus).

Tanpa sistem koordinat, mustahil bagi aplikasi untuk memahami posisi dan arah secara akurat. Setiap pergerakan, seperti pesawat yang mengubah ketinggian atau arah, perlu dilaporkan dan diproses menggunakan sistem koordinat dan konsep vektor.