Lingkaran dan Busur Lingkaran

Pengertian Lingkaran

Lingkaran adalah himpunan semua titik pada bidang datar yang memiliki jarak yang sama terhadap suatu titik tetap. Titik tetap tersebut disebut pusat lingkaran, sedangkan jarak yang sama tersebut disebut jari-jari.

Secara matematis, lingkaran dengan pusat $O(a,b)$ dan jari-jari $r$ dapat dinyatakan dengan persamaan:

Unsur-unsur Lingkaran

Bagaimana visualisasi dari persamaan lingkaran tersebut?

Unsur-unsur penting lingkaran:

• Pusat lingkaran (O): Titik tetap yang menjadi acuan lingkaran
• Jari-jari (r): Jarak dari pusat ke setiap titik pada lingkaran
• Diameter (d): Tali busur yang melalui pusat lingkaran, $d = 2r$
• Tali busur: Ruas garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran

Busur Lingkaran

Busur lingkaran adalah bagian dari keliling lingkaran yang dibatasi oleh dua titik pada lingkaran. Busur dilambangkan dengan simbol lengkung di atas huruf, misalnya $\overset{\frown}{AB}$.

Jenis-jenis Busur

Jenis busur berdasarkan panjangnya:

• Busur minor: Busur yang panjangnya kurang dari setengah keliling lingkaran
• Busur mayor: Busur yang panjangnya lebih dari setengah keliling lingkaran
• Setengah lingkaran: Busur yang panjangnya tepat setengah keliling lingkaran

Sudut Pusat dan Sudut Keliling

Sudut Pusat

Sudut pusat adalah sudut yang titik sudutnya berada di pusat lingkaran dan kaki-kaki sudutnya adalah jari-jari lingkaran.

Sifat sudut pusat:

• Besar sudut pusat sama dengan besar busur yang menghadapnya
• Jika sudut pusat = $\alpha$, maka busur = $\alpha$

Sudut Keliling

Sudut keliling adalah sudut yang titik sudutnya berada pada lingkaran dan kaki-kaki sudutnya adalah tali busur.

Hubungan Sudut Pusat dan Sudut Keliling

Jika sudut pusat dan sudut keliling menghadap busur yang sama, maka besar sudut keliling adalah setengah dari besar sudut pusat.

Contoh penerapan:

Panjang Busur dan Luas Juring

Panjang Busur

Panjang busur berbanding lurus dengan besar sudut pusat yang menghadapnya.

Di mana:

• $l$ = panjang busur
• $\alpha$ = besar sudut pusat (dalam derajat)
• $r$ = jari-jari lingkaran

Luas Juring

Juring adalah daerah yang dibatasi oleh dua jari-jari dan busur lingkaran.

Kita dapat memvisualisasikan luas juring dengan menggunakan persamaan di atas.

Menghitung Panjang Busur dan Luas Juring

Sebuah lingkaran memiliki jari-jari 14 cm. Jika sudut pusat yang menghadap suatu busur adalah 90°, tentukan:

1. Panjang busur
2. Luas juring

Penyelesaian:

Diketahui: $r = 14$ cm, $\alpha = 90°$

1. Panjang busur:

   $$l = \frac{\alpha}{360°} \times 2\pi r$$

   $$l = \frac{90°}{360°} \times 2\pi \times 14$$

   $$l = \frac{1}{4} \times 28\pi$$

   $$l = 7\pi \text{ cm} \approx 21,99 \text{ cm}$$

2. Luas juring:

   $$L = \frac{\alpha}{360°} \times \pi r^2$$

   $$L = \frac{90°}{360°} \times \pi \times 14^2$$

   $$L = \frac{1}{4} \times 196\pi$$

   $$L = 49\pi \text{ cm}^2 \approx 153,94 \text{ cm}^2$$

Latihan Soal

1. Sebuah lingkaran memiliki diameter 20 cm. Jika sudut keliling yang menghadap suatu busur adalah 30°, tentukan besar sudut pusat yang menghadap busur yang sama!

2. Pada lingkaran dengan pusat O dan jari-jari 21 cm, terdapat busur AB dengan sudut pusat 120°. Hitunglah:

   • Panjang busur AB
   • Luas juring AOB

3. Dua buah sudut keliling menghadap busur yang sama. Jika salah satu sudut keliling besarnya 45°, tentukan besar sudut keliling yang lain!

Kunci Jawaban

1. Sudut pusat = 2 × sudut keliling = 2 × 30° = 60°

2. Diketahui: r = 21 cm, α = 120°

   • Panjang busur AB = $\frac{120°}{360°} \times 2\pi \times 21 = \frac{1}{3} \times 42\pi = 14\pi$ cm ≈ 43,98 cm
   • Luas juring AOB = $\frac{120°}{360°} \times \pi \times 21^2 = \frac{1}{3} \times 441\pi = 147\pi$ cm² ≈ 461,81 cm²

3. Sudut keliling yang menghadap busur yang sama memiliki besar yang sama, jadi sudut keliling yang lain = 45°