Sudut Pusat dan Sudut Keliling

Pengertian Sudut Pusat

Sudut pusat adalah sudut yang dibentuk oleh dua jari-jari lingkaran dengan titik sudut berada di pusat lingkaran. Kaki-kaki sudut pusat adalah jari-jari lingkaran yang menghubungkan pusat dengan titik-titik pada lingkaran.

Pada gambar di atas:

• Titik $O$ adalah pusat lingkaran
• $OA$ dan $OB$ adalah jari-jari lingkaran
• $\angle AOB$ adalah sudut pusat
• Besar sudut pusat dilambangkan dengan $\alpha$

Pengertian Sudut Keliling

Sudut keliling adalah sudut yang dibentuk oleh dua tali busur dengan titik sudut berada pada lingkaran. Kaki-kaki sudut keliling adalah tali busur yang menghubungkan titik sudut dengan dua titik lain pada lingkaran.

Pada gambar di atas:

• Titik $C$ berada pada lingkaran
• $CA$ dan $CB$ adalah tali busur
• $\angle ACB$ adalah sudut keliling
• Titik $O$ adalah pusat lingkaran

Hubungan Sudut Pusat dan Sudut Keliling

Sudut pusat dan sudut keliling yang menghadap busur yang sama memiliki hubungan khusus. Mari kita perhatikan hubungan tersebut.

Teorema Hubungan Sudut Pusat dan Sudut Keliling

Jika sudut pusat dan sudut keliling menghadap busur yang sama, maka:

• $\text{Besar sudut keliling} = \frac{1}{2} \times \text{besar sudut pusat}$
• $\text{Besar sudut pusat} = 2 \times \text{besar sudut keliling}$

Pembuktian Hubungan Sudut Pusat dan Sudut Keliling

Mari kita buktikan hubungan antara sudut pusat dan sudut keliling dengan membuat garis bantu.

Langkah pembuktian:

1. Buat garis $CD$ yang melalui titik $O$ (pusat lingkaran)
2. Perhatikan bahwa $OA = OB = OC = OD$ (jari-jari lingkaran)
3. Segitiga $AOC$ dan $BOC$ adalah segitiga sama kaki
4. Misalkan $\angle ACO = x$ dan $\angle BCO = y$
5. Karena segitiga sama kaki: $\angle CAO = x$ dan $\angle CBO = y$
6. Sudut luar segitiga: $\angle AOD = 2x$ dan $\angle BOD = 2y$
7. Maka: $\angle AOB = 2x + 2y = 2(x + y) = 2 \times \angle ACB$

Sifat-sifat Sudut Pusat dan Sudut Keliling

1. Sudut Keliling yang Menghadap Diameter

Setiap sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran besarnya $90^\circ$ (sudut siku-siku).

2. Sudut-sudut Keliling yang Menghadap Busur yang Sama

   $\angle ACB = \angle ADB$, kedua sudut menghadap busur $AB$ yang sama.

   Sudut Keliling Menghadap Busur yang Sama

   Sudut-sudut keliling yang menghadap busur yang sama memiliki besar yang sama.

   Toggle GridToggle Play

Menghitung Sudut Keliling

Diketahui sudut pusat $\angle AOB = 80^\circ$. Tentukan besar sudut keliling $\angle ACB$ yang menghadap busur yang sama!

Penyelesaian:

Menghitung Sudut Pusat

Diketahui sudut keliling $\angle ACB = 35^\circ$. Tentukan besar sudut pusat $\angle AOB$ yang menghadap busur yang sama!

Penyelesaian:

Latihan Soal

1. Jika sudut pusat suatu lingkaran adalah $120^\circ$, berapakah besar sudut keliling yang menghadap busur yang sama?

2. Sudut keliling $\angle ABC = 45^\circ$. Tentukan besar sudut pusat $\angle AOB$!

3. Pada suatu lingkaran, sudut keliling PQR menghadap diameter. Berapakah besar sudut $PQR$?

4. Dua sudut keliling menghadap busur yang sama. Jika salah satu sudut besarnya $25^\circ$, tentukan besar sudut yang lain!

Kunci Jawaban

1. Sudut keliling adalah $\frac{1}{2} \times 120^\circ = 60^\circ$

2. Sudut pusat $\angle AOB = 2 \times 45^\circ = 90^\circ$

3. $\angle PQR = 90^\circ$ (sudut keliling yang menghadap diameter selalu $90^\circ$)

4. Sudut yang lain adalah $25^\circ$ (sudut-sudut keliling yang menghadap busur yang sama besarnya sama)