Sifat Sudut dalam Lingkaran

Sudut Keliling yang Menghadap Busur yang Sama

Sudut-sudut keliling yang menghadap busur yang sama memiliki besar yang sama, tidak peduli di mana posisi titik sudutnya pada lingkaran.

Sifat: $\angle ACB = \angle ADB$

Kedua sudut keliling $\angle ACB$ dan $\angle ADB$ menghadap busur $AB$ yang sama, sehingga besarnya sama.

Sudut Pusat dan Sudut Keliling

Sudut pusat besarnya dua kali sudut keliling yang menghadap busur yang sama.

Sifat: $\angle AOB = 2 \times \angle ACB$

Sudut Keliling yang Menghadap Diameter

Setiap sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran selalu merupakan sudut siku-siku ($90^\circ$).

Sifat: Jika $AB$ adalah diameter, maka $\angle ACB = \angle ADB = 90^\circ$

Ini dikenal sebagai Teorema Thales.

Sudut-sudut dalam Segiempat Tali Busur

Segiempat tali busur adalah segiempat yang keempat titik sudutnya terletak pada lingkaran. Jumlah sudut-sudut yang berhadapan adalah $180^\circ$.

Sifat: $\alpha + \gamma = 180^\circ$ dan $\beta + \delta = 180^\circ$

Sudut Luar Sama dengan Sudut Dalam Berseberangan

Pada segiempat tali busur, sudut luar di suatu titik sama dengan sudut dalam di titik yang berseberangan.

Sifat: $\angle DAE = \angle BCD$ (sudut luar di $A$ sama dengan sudut dalam di $C$)

Penerapan Sifat-sifat Sudut dalam Lingkaran

Menentukan Besar Sudut

Pada lingkaran dengan pusat $O$, diketahui sudut pusat $\angle AOB = 100^\circ$. Tentukan besar sudut keliling $\angle ACB$!

Penyelesaian:

Menggunakan sifat sudut pusat dan sudut keliling:

Mencari Sudut Berhadapan

Dalam segiempat tali busur $ABCD$, diketahui $\angle A = 75^\circ$. Tentukan besar $\angle C$!

Penyelesaian:

Menggunakan sifat segiempat tali busur:

Menggunakan Teorema Thales

Titik $C$ terletak pada lingkaran dengan $AB$ sebagai diameter. Tentukan besar $\angle ACB$!

Penyelesaian:

Karena $AB$ adalah diameter dan $C$ terletak pada lingkaran, maka berdasarkan Teorema Thales:

Latihan Soal

1. Pada lingkaran dengan pusat $O$, sudut pusat $\angle AOB = 140^\circ$. Jika $C$ dan $D$ adalah dua titik berbeda pada lingkaran, tentukan:

   • Besar sudut $\angle ACB$
   • Besar sudut $\angle ADB$

2. Dalam segiempat tali busur $PQRS$, diketahui:

   $$\angle P = 85^\circ$$

   $$\angle Q = 110^\circ$$

   Tentukan besar $\angle R$ dan $\angle S$!

3. Titik $A$, $B$, dan $C$ terletak pada lingkaran. Jika $AB$ adalah diameter dan $BC = AC$, tentukan besar $\angle BAC$!

4. Pada lingkaran, sudut keliling $\angle APB = 35^\circ$. Tentukan besar sudut pusat $\angle AOB$!

5. Dalam segiempat tali busur $KLMN$, sudut luar di titik $K$ adalah $65^\circ$. Tentukan besar sudut dalam di titik $M$!

Kunci Jawaban

1. Menentukan sudut keliling yang menghadap busur yang sama

   Visualisasi

   Sudut pusat $AOB = 140^\circ$ dan sudut-sudut keliling yang menghadap busur $AB$.

   Toggle GridToggle Play

   Penyelesaian:

   Menggunakan sifat hubungan sudut pusat dan sudut keliling:

   $$\text{Sudut keliling} = \frac{1}{2} \times \text{Sudut pusat}$$

   $$\angle ACB = \frac{1}{2} \times \angle AOB$$

   $$\angle ACB = \frac{1}{2} \times 140^\circ$$

   $$\angle ACB = 70^\circ$$

   Karena sudut keliling yang menghadap busur yang sama besarnya sama:

   $$\angle ADB = \angle ACB = 70^\circ$$

2. Menentukan sudut-sudut dalam segiempat tali busur

   Penyelesaian:

Dalam segiempat tali busur, $\text{jumlah sudut berhadapan} = 180^\circ$

Untuk sudut $R$ (berhadapan dengan $P$):

Untuk sudut $S$ (berhadapan dengan $Q$):

3. Menentukan sudut dalam segitiga sama kaki dengan diameter

   Visualisasi

   $AB$ adalah diameter, $BC = AC$ (segitiga sama kaki).

   Toggle GridToggle Play

   Penyelesaian:

   Karena $AB$ adalah diameter, maka berdasarkan Teorema Thales:

   $$\angle ACB = 90^\circ$$

   Karena $BC = AC$, maka segitiga $ABC$ adalah segitiga siku-siku sama kaki.

   Dalam segitiga siku-siku sama kaki, kedua sudut alasnya sama besar:

   $$\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ$$

   $$\angle BAC + \angle ABC + 90^\circ = 180^\circ$$

   $$\angle BAC + \angle ABC = 90^\circ$$

   Karena $\angle BAC = \angle ABC$ (sudut alas segitiga sama kaki):

   $$2 \times \angle BAC = 90^\circ$$

   $$\angle BAC = 45^\circ$$

4. Menentukan sudut pusat dari sudut keliling

   Penyelesaian:

   Menggunakan hubungan sudut pusat dan sudut keliling:

   $$\text{Sudut pusat} = 2 \times \text{Sudut keliling}$$

   $$\angle AOB = 2 \times \angle APB$$

   $$\angle AOB = 2 \times 35^\circ$$

   $$\angle AOB = 70^\circ$$

5. Menentukan sudut dalam dari sudut luar segiempat tali busur

   Penyelesaian:

   Dalam segiempat tali busur, sudut luar di suatu titik sama dengan sudut dalam di titik yang berseberangan.

Jika sudut luar di $K$ adalah $65^\circ$, maka:

Ini karena titik $K$ dan $M$ berseberangan dalam segiempat tali busur $KLMN$.