Sifat Sudut dalam Lingkaran

Sudut Keliling yang Menghadap Busur yang Sama

Sudut-sudut keliling yang menghadap busur yang sama memiliki besar yang sama, tidak peduli di mana posisi titik sudutnya pada lingkaran.

Sifat: $\angle ACB = \angle ADB$

Kedua sudut keliling ACB dan ADB menghadap busur AB yang sama, sehingga besarnya sama.

Sudut Pusat dan Sudut Keliling

Sudut pusat besarnya dua kali sudut keliling yang menghadap busur yang sama.

Sifat: $\angle AOB = 2 \times \angle ACB$

Sudut Keliling yang Menghadap Diameter

Setiap sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran selalu merupakan sudut siku-siku (90°).

Sifat: Jika AB adalah diameter, maka $\angle ACB = \angle ADB = 90°$

Ini dikenal sebagai Teorema Thales.

Sudut-sudut dalam Segiempat Tali Busur

Segiempat tali busur adalah segiempat yang keempat titik sudutnya terletak pada lingkaran. Jumlah sudut-sudut yang berhadapan adalah 180°.

Sifat: $\alpha + \gamma = 180°$ dan $\beta + \delta = 180°$

Sudut Luar Sama dengan Sudut Dalam Berseberangan

Pada segiempat tali busur, sudut luar di suatu titik sama dengan sudut dalam di titik yang berseberangan.

Sifat: $\angle DAE = \angle BCD$ (sudut luar di A = sudut dalam di C)

Penerapan Sifat-sifat Sudut dalam Lingkaran

Menentukan Besar Sudut

Pada lingkaran dengan pusat O, diketahui sudut pusat AOB = 100°. Tentukan besar sudut keliling ACB!

Penyelesaian:

Menggunakan sifat sudut pusat dan sudut keliling:

Mencari Sudut Berhadapan

Dalam segiempat tali busur ABCD, diketahui $\angle A = 75°$. Tentukan besar $\angle C$!

Penyelesaian:

Menggunakan sifat segiempat tali busur:

Menggunakan Teorema Thales

Titik C terletak pada lingkaran dengan AB sebagai diameter. Tentukan besar $\angle ACB$!

Penyelesaian:

Karena AB adalah diameter dan C terletak pada lingkaran, maka berdasarkan Teorema Thales:

Latihan Soal

1. Pada lingkaran dengan pusat O, sudut pusat AOB = 140°. Jika C dan D adalah dua titik berbeda pada lingkaran, tentukan:

   • Besar sudut ACB
   • Besar sudut ADB

2. Dalam segiempat tali busur PQRS, diketahui:

   $$\angle P = 85°$$

   $$\angle Q = 110°$$

   Tentukan besar $\angle R$ dan $\angle S$!

3. Titik A, B, dan C terletak pada lingkaran. Jika AB adalah diameter dan BC = AC, tentukan besar $\angle BAC$!

4. Pada lingkaran, sudut keliling APB = 35°. Tentukan besar sudut pusat AOB!

5. Dalam segiempat tali busur KLMN, sudut luar di titik K adalah 65°. Tentukan besar sudut dalam di titik M!

Kunci Jawaban

1. Menentukan sudut keliling yang menghadap busur yang sama

   Visualisasi

   Sudut pusat AOB = 140° dan sudut-sudut keliling yang menghadap busur AB.

   Toggle GridToggle Play

   Penyelesaian:

   Menggunakan sifat hubungan sudut pusat dan sudut keliling:

   $$\text{Sudut keliling} = \frac{1}{2} \times \text{Sudut pusat}$$

   $$\angle ACB = \frac{1}{2} \times \angle AOB$$

   $$\angle ACB = \frac{1}{2} \times 140°$$

   $$\angle ACB = 70°$$

   Karena sudut keliling yang menghadap busur yang sama besarnya sama:

   $$\angle ADB = \angle ACB = 70°$$

2. Menentukan sudut-sudut dalam segiempat tali busur

   Penyelesaian:

   Dalam segiempat tali busur, jumlah sudut-sudut yang berhadapan = 180°

   Untuk sudut R (berhadapan dengan P):

   $$\angle P + \angle R = 180°$$

   $$85° + \angle R = 180°$$

   $$\angle R = 180° - 85°$$

   $$\angle R = 95°$$

   Untuk sudut S (berhadapan dengan Q):

   $$\angle Q + \angle S = 180°$$

   $$110° + \angle S = 180°$$

   $$\angle S = 180° - 110°$$

   $$\angle S = 70°$$

3. Menentukan sudut dalam segitiga sama kaki dengan diameter

   Visualisasi

   AB adalah diameter, BC = AC (segitiga sama kaki).

   Toggle GridToggle Play

   Penyelesaian:

   Karena AB adalah diameter, maka berdasarkan Teorema Thales:

   $$\angle ACB = 90°$$

   Karena BC = AC, maka segitiga ABC adalah segitiga siku-siku sama kaki.

   Dalam segitiga siku-siku sama kaki, kedua sudut alasnya sama besar:

   $$\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180°$$

   $$\angle BAC + \angle ABC + 90° = 180°$$

   $$\angle BAC + \angle ABC = 90°$$

   Karena $\angle BAC = \angle ABC$ (sudut alas segitiga sama kaki):

   $$2 \times \angle BAC = 90°$$

   $$\angle BAC = 45°$$

4. Menentukan sudut pusat dari sudut keliling

   Penyelesaian:

   Menggunakan hubungan sudut pusat dan sudut keliling:

   $$\text{Sudut pusat} = 2 \times \text{Sudut keliling}$$

   $$\angle AOB = 2 \times \angle APB$$

   $$\angle AOB = 2 \times 35°$$

   $$\angle AOB = 70°$$

5. Menentukan sudut dalam dari sudut luar segiempat tali busur

   Penyelesaian:

   Dalam segiempat tali busur, sudut luar di suatu titik sama dengan sudut dalam di titik yang berseberangan.

   Jika sudut luar di K = 65°, maka:

   $$\angle \text{dalam di M} = \angle \text{luar di K} = 65°$$

   Ini karena titik K dan M berseberangan dalam segiempat tali busur KLMN.