Bentuk Bilangan Kompleks

Bentuk Kartesius

Bilangan kompleks itu bentuknya $z = x + iy$, di mana $x$ itu bagian real dan $y$ itu bagian imajiner. Nah, bentuk $z = x + iy$ ini disebut bentuk Kartesius atau bentuk persegi panjang.

• $x = \text{Re}(z)$ (Bagian Real)
• $y = \text{Im}(z)$ (Bagian Imajiner)

Kita juga bisa melihat bilangan kompleks $z = x + iy$ sebagai pasangan terurut $(x, y)$ pada bidang koordinat. Bidang ini spesial lho, namanya bidang kompleks atau diagram Argand.

• Sumbu horizontal (sumbu-x) merepresentasikan bagian real.
• Sumbu vertikal (sumbu-y) merepresentasikan bagian imajiner.

Visualisasi pada Bidang Kompleks

Kita coba gambarkan beberapa bilangan kompleks di bidang kompleks. Setiap bilangan $z = x + iy$ digambarkan sebagai titik $(x, y)$ dan biasanya direpresentasikan sebagai vektor (panah) dari titik asal (0,0) ke titik tersebut.

Bentuk Polar (Kutub)

Selain Kartesius, ada cara lain buat menyatakan bilangan kompleks, yaitu bentuk polar atau bentuk kutub. Bentuk ini menggunakan:

1. Modulus ($r$): Jarak dari titik asal (0,0) ke titik $(x, y)$ di bidang kompleks. Nilainya selalu non-negatif.
2. Argumen ($\theta$): Sudut yang dibentuk oleh garis dari titik asal ke titik $(x, y)$ dengan sumbu real positif. Sudut ini biasanya diukur dalam radian atau derajat.

Hubungan antara bentuk Kartesius ($x, y$) dan bentuk Polar ($r, \theta$) bisa kita lihat dari trigonometri dasar:

Dari sini, kita bisa cari $r$ dan $\theta$ jika $x$ dan $y$ diketahui:

Saat mencari $\theta$ dari $\tan \theta$, perhatikan kuadran tempat titik $(x, y)$ berada untuk menentukan sudut yang tepat.

Dengan substitusi $x$ dan $y$ ke bentuk Kartesius, kita dapatkan bentuk polar:

Kadang, bentuk $(\cos \theta + i \sin \theta)$ disingkat jadi $\text{cis } \theta$.

Contoh Konversi ke Bentuk Polar

Misal kita punya $z = 1 + i$.

• Bagian real $x = 1$.
• Bagian imajiner $y = 1$.

Cari $r$:

Cari $\theta$:

Karena $x$ dan $y$ positif, titik $(1, 1)$ ada di kuadran $I$. Sudut yang $\tan$-nya 1 di kuadran $I$ adalah $45^\circ$ atau $\pi/4$ radian.

Jadi, bentuk polarnya:

Latihan Bentuk Polar

Nyatakan bilangan kompleks berikut dalam bentuk polar:

1. $z = 1 + i\sqrt{3}$
2. $z = -i$

Kunci Jawaban:

1. Untuk $z = 1 + i\sqrt{3}$:

   • Identifikasi $x = 1$ dan $y = \sqrt{3}$.

   • Hitung modulus $r$:

     $$r = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$$

   • Hitung argumen $\theta$:

     $$\tan \theta = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$$

     Karena $x$ dan $y$ positif, titik $(1, \sqrt{3})$ ada di kuadran $I$, jadi $\theta = 60^\circ$.

   • Bentuk Polar:

     $$z = 2(\cos 60^\circ + i \sin 60^\circ)$$

2. Untuk $z = -i$:

   • Identifikasi $x = 0$ dan $y = -1$.

   • Hitung modulus $r$:

     $$r = \sqrt{0^2 + (-1)^2} = \sqrt{1} = 1$$

   • Tentukan argumen $\theta$:

     Titik $(0, -1)$ berada pada sumbu imajiner negatif. Sudutnya adalah $\theta = 270^\circ$ atau bisa juga ditulis $\theta = -90^\circ$.

   • Bentuk Polar (pilih salah satu sudut):

     $$z = 1(\cos 270^\circ + i \sin 270^\circ)$$

     atau

     $$z = 1(\cos (-90^\circ) + i \sin (-90^\circ))$$

Bentuk Eksponen

Ada satu lagi bentuk penting, yaitu bentuk eksponen. Bentuk ini berasal dari Formula Euler yang ajaib:

Di sini, $e \approx 2.71828...$ adalah bilangan Euler (basis logaritma natural).

Kalau kita substitusi Formula Euler ke bentuk polar $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$, kita dapatkan bentuk eksponen:

Bentuk ini sangat berguna dalam perkalian dan pembagian bilangan kompleks.

Contoh Konversi ke Bentuk Eksponen

Ambil contoh sebelumnya:

1. Untuk $z = 1 + i$, kita sudah punya bentuk polar $\sqrt{2}(\cos 45^\circ + i \sin 45^\circ)$.

   • Modulus $r = \sqrt{2}$.

   • Argumen $\theta = 45^\circ = \pi/4$ radian.

   • Bentuk Eksponen:

     $$z = r e^{i\theta} = \sqrt{2} e^{i \pi/4}$$

2. Untuk $z = \sqrt{2}(\cos 315^\circ + i \sin 315^\circ)$:

   • Modulus $r = \sqrt{2}$.

   • Argumen $\theta = 315^\circ$. Kita ubah ke radian:

     $$315^\circ = 315 \times \frac{\pi}{180} = \frac{7 \times 45 \times \pi}{4 \times 45} = \frac{7\pi}{4}$$

     Atau bisa juga pakai sudut negatif $315^\circ - 360^\circ = -45^\circ = -\pi/4$ radian.

   • Bentuk Eksponen (pilih salah satu sudut):

     $$z = \sqrt{2} e^{i 7\pi/4}$$

     atau

     $$z = \sqrt{2} e^{-i \pi/4}$$

Latihan Bentuk Eksponen

Nyatakan bilangan kompleks berikut dalam bentuk eksponen (gunakan sudut radian):

1. $z = 2(\cos 60^\circ + i \sin 60^\circ)$
2. $z = \cos 15^\circ + i \sin 15^\circ$

Kunci Jawaban:

1. Untuk $z = 2(\cos 60^\circ + i \sin 60^\circ)$:

   • Modulus $r = 2$.

   • Argumen $\theta = 60^\circ$. Ubah ke radian:

     $$\theta = 60^\circ = 60 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3}$$

   • Bentuk Eksponen:

     $$z = 2 e^{i \pi/3}$$

2. Untuk $z = \cos 15^\circ + i \sin 15^\circ$:

   • Modulus $r = 1$ (karena tidak ada koefisien di depan $\cos$ dan $\sin$).

   • Argumen $\theta = 15^\circ$. Ubah ke radian:

     $$\theta = 15^\circ = 15 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{12}$$

   • Bentuk Eksponen:

     $$z = e^{i \pi/12}$$

Kesamaan Dua Bilangan Kompleks

Dua bilangan kompleks $z_1 = x_1 + iy_1$ dan $z_2 = x_2 + iy_2$ dikatakan sama jika dan hanya jika bagian real keduanya sama DAN bagian imajiner keduanya juga sama.

Contoh Kesamaan

• $z_1 = 3 - 2i$ dan $z_2 = 4 + 2i$ adalah berbeda.

  karena $\text{Re}(z_1) = 3 \neq \text{Re}(z_2) = 4$ (walaupun $|\text{Im}(z_1)| = |-2| = 2 = |\text{Im}(z_2)| = |2|$, tanda imajinernya berbeda).

• $z_1 = -1 + i$ dan $z_2 = i - 1$ adalah sama.

  karena $\text{Re}(z_1) = -1 = \text{Re}(z_2) = -1$ dan $\text{Im}(z_1) = 1 = \text{Im}(z_2) = 1$.

Latihan Kesamaan

Tentukan apakah pasangan bilangan kompleks berikut sama atau berbeda:

1. $z_1 = 4 - (-2i)$ dan $z_2 = 4 + 2i$
2. $z_1 = i$ dan $z_2 = 1 - i$
3. $z_1 = -1 + i$ dan $z_2 = i + 1$

Kunci Jawaban:

1. $z_1 = 4 - (-2i) = 4 + 2i$.

   Jadi, $z_1$ sama dengan $z_2 = 4 + 2i$.

2. $z_1 = 0 + 1i$ dan $z_2 = 1 - 1i$.

   Bagian real berbeda ($0 \neq 1$) dan bagian imajiner berbeda ($1 \neq -1$).

   Jadi, $z_1$ berbeda dengan $z_2$.

3. $z_1 = -1 + 1i$ dan $z_2 = 1 + 1i$.

   Bagian real berbeda ($-1 \neq 1$).

   Jadi, $z_1$ berbeda dengan $z_2$.

Latihan

1. Benar atau Salah. Setiap bilangan real adalah bilangan kompleks.
2. Benar atau Salah. Bilangan kompleks mempunyai 3 bentuk yakni bentuk kartesius, bentuk eksponen, dan bentuk logaritma.
3. Benar atau Salah. Bilangan kompleks $z = 1 - 3i$ jika digambarkan pada bidang kompleks, maka berada di kuadran III.
4. Nyatakan bilangan kompleks $2+2i$ dalam bentuk polar dan eksponen.
5. Tentukan bilangan $x$ dan $y$ dengan $z_1 = x + 3i$ dan $z_2 = 3 - yi$ agar $z_1 = z_2$!
6. Tentukan solusi dari persamaan kuadrat $x^2 - 2x + 6 = 0$!
7. Tentukan persamaan kuadrat yang mempunyai solusi $x_1 = 1 + i$ dan $x_2 = 1 - i$!

Kunci Jawaban

1. Benar. Bilangan real $a$ dapat ditulis sebagai $a + 0i$.

2. Salah. Bentuk umum bilangan kompleks adalah Kartesius, Polar, dan Eksponen. Bentuk logaritma kompleks ada, tapi biasanya tidak termasuk 3 bentuk utama yang dipelajari di level ini.

3. Salah. $z = 1 - 3i$ memiliki bagian real positif ($x=1$) dan bagian imajiner negatif ($y=-3$). Titik $(1, -3)$ berada di Kuadran IV.

4. Untuk $z = 2 + 2i$:

   • Hitung modulus $r$:

     $$r = \sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{2^2+2^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$

   • Hitung argumen $\theta$:

     $$\tan \theta = \frac{y}{x} = \frac{2}{2} = 1$$

     Karena $x=2$ dan $y=2$ (keduanya positif), titik berada di Kuadran I. Maka, $\theta = 45^\circ$ atau $\pi/4$ radian.

   • Bentuk Polar:

     $$z = r(\cos \theta + i \sin \theta) = 2\sqrt{2}(\cos 45^\circ + i \sin 45^\circ)$$

   • Bentuk Eksponen:

     $$z = r e^{i\theta} = 2\sqrt{2} e^{i \pi/4}$$

5. Agar $z_1 = x + 3i$ sama dengan $z_2 = 3 - yi$, bagian real harus sama dan bagian imajiner harus sama:

   • Bagian Real: $x = 3$

   • Bagian Imajiner: $3 = -y \implies y = -3$

     Jadi, $x=3$ dan $y=-3$.

6. Untuk menyelesaikan $x^2 - 2x + 6 = 0$, gunakan rumus kuadratik (rumus ABC):

   $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

   dengan $a=1, b=-2, c=6$:

   $$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(6)}}{2(1)}$$

   $$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 24}}{2}$$

   $$x = \frac{2 \pm \sqrt{-20}}{2}$$

   $$x = \frac{2 \pm \sqrt{20}\sqrt{-1}}{2}$$

   $$x = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}i}{2}$$

   $$x = 1 \pm i\sqrt{5}$$

   Solusinya adalah $x_1 = 1 + i\sqrt{5}$ dan $x_2 = 1 - i\sqrt{5}$.

7. Jika akar-akar persamaan kuadrat adalah $x_1 = 1 + i$ dan $x_2 = 1 - i$, persamaan dapat dibentuk dari $(x - x_1)(x - x_2) = 0$ atau $x^2 - (x_1 + x_2)x + (x_1 x_2) = 0$.

   • Hitung jumlah akar:

     $$x_1 + x_2 = (1+i) + (1-i) = 1 + i + 1 - i = 2$$

   • Hitung hasil kali akar:

     $$x_1 x_2 = (1+i)(1-i) = 1^2 - i^2 = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2$$

   • Susun persamaan kuadrat:

     $$x^2 - (2)x + (2) = 0$$

     $$x^2 - 2x + 2 = 0$$