Penjumlahan Bilangan Kompleks

Penjumlahan Dua Bilangan Kompleks

Bagaimana cara menjumlahkan dua bilangan kompleks?

Misalkan kita punya dua bilangan kompleks:

z_1 = x_1 + iy_1

z_2 = x_2 + iy_2

Untuk menjumlahkannya ( $z_1 + z_2$ ), kita tinggal jumlahkan bagian real dengan bagian real, dan bagian imajiner dengan bagian imajiner.

z_1 + z_2 = (x_1 + x_2) + i(y_1 + y_2)

Contoh Penjumlahan

Misal $z_1 = 2 + 3i$ dan $z_2 = 1 - i$ .

Bagian real $z_1$ adalah 2, bagian real $z_2$ adalah 1.
Bagian imajiner $z_1$ adalah 3, bagian imajiner $z_2$ adalah -1.

Maka penjumlahannya:

z_1 + z_2 = (2 + 1) + i(3 + (-1)) = 3 + i(2) = 3 + 2i

Dengan aturan jajar genjang, penjumlahan bilangan kompleks bisa kita lihat secara geometris di bidang kompleks. Kalau kita gambarkan $z_1$ dan $z_2$ sebagai vektor (panah) dari titik asal (0,0), maka hasil penjumlahannya, $z_1 + z_2$ , adalah vektor diagonal dari jajar genjang yang dibentuk oleh $z_1$ dan $z_2$ .

Penjumlahan Bilangan Kompleks secara Geometris

Visualisasi penjumlahan

z_1 = 2+3i

dan

z_2 = 1-i

menggunakan aturan jajar genjang.

Operasi Terkait

Selain penjumlahan, ada operasi lain yang mirip cara kerjanya:

Perkalian Skalar

Mengalikan bilangan kompleks $z = x + iy$ dengan bilangan real (skalar) $c$ itu mudah. Tinggal kalikan $c$ ke bagian real dan bagian imajinernya.

cz = c(x + iy) = cx + i(cy)

Secara geometris, ini seperti memperpanjang atau memperpendek vektor $z$ sebesar faktor $c$ . Kalau $c$ negatif, arah vektornya jadi berlawanan.

Negatif dari Bilangan Kompleks

Negatif dari $z = x + iy$ adalah $-z$ . Ini sama saja dengan perkalian skalar dengan $c = -1$ .

-z = -(x + iy) = -x + i(-y) = -x - iy

Secara geometris, $-z$ adalah vektor dengan panjang yang sama dengan $z$ , tapi arahnya berlawanan 180 derajat.

Pengurangan Dua Bilangan Kompleks

Mengurangkan $z_2$ dari $z_1$ ( $z_1 - z_2$ ) sama artinya dengan menjumlahkan $z_1$ dengan negatif dari $z_2$ ( $z_1 + (-z_2)$ ).

z_1 - z_2 = z_1 + (-z_2) = (x_1 + (-x_2)) + i(y_1 + (-y_2)) = (x_1 - x_2) + i(y_1 - y_2)

Jadi, kita kurangkan bagian real dengan bagian real, dan bagian imajiner dengan bagian imajiner.

Secara geometris, $z_1 - z_2$ adalah vektor dari ujung $z_2$ ke ujung $z_1$ .

Contoh Operasi Gabungan

Misal kita punya:

z_1 = 2 + \frac{1}{2}i

z_2 = -3 + \sqrt{2}i

Mari hitung beberapa operasi:

$2z_1$ (Perkalian Skalar):

$2z_1 = 2(2 + \frac{1}{2}i) = 2(2) + i(2 \times \frac{1}{2}) = 4 + i$
$z_1 + 3z_2$ (Penjumlahan dan Perkalian Skalar):

$z_1 + 3z_2 = (2 + \frac{1}{2}i) + 3(-3 + \sqrt{2}i)$
$= (2 + \frac{1}{2}i) + (3(-3) + i(3\sqrt{2}))$
$= (2 + \frac{1}{2}i) + (-9 + 3\sqrt{2}i)$
$= (2 - 9) + i(\frac{1}{2} + 3\sqrt{2})$
$= -7 + i(\frac{1}{2} + 3\sqrt{2})$
$2z_1 - z_2$ (Pengurangan dan Perkalian Skalar):

$2z_1 - z_2 = (4 + i) - (-3 + \sqrt{2}i)$
$= (4 - (-3)) + i(1 - \sqrt{2})$
$= (4 + 3) + i(1 - \sqrt{2})$
$= 7 + i(1 - \sqrt{2})$

Latihan

Jika $z_1 = 1 + 2i$ dan $z_2 = 3 - i$ . Tentukan:

$z_1 + z_2$
$z_1 - z_2$
Jika $z_3 = z_1 + z_2$ , gambarkan $z_1$ , $z_2$ , dan $z_3$ pada bidang kompleks.

Kunci Jawaban

$z_1 + z_2 = (1+3) + i(2+(-1)) = 4 + i$
$z_1 - z_2 = (1-3) + i(2-(-1)) = -2 + i(3) = -2 + 3i$
Gambar visualisasi $z_1$ , $z_2$ , dan $z_3 = z_1 + z_2$ pada bidang kompleks menggunakan aturan jajar genjang:

Penjumlahan Bilangan Kompleks
Visualisasi $z_1$ , $z_2$ , dan $z_3 = z_1 + z_2$ pada bidang kompleks menggunakan aturan jajar genjang.

Command Palette