Modulus dan Argumen Bilangan Kompleks

Apa itu Modulus dan Argumen?

Bilangan kompleks $z = x + iy$ dapat digambarkan sebagai titik $(x, y)$ pada bidang kompleks (mirip dengan bidang Kartesius). Selain sebagai titik, kita juga bisa melihatnya sebagai vektor yang berawal dari titik pangkal $(0, 0)$ menuju titik $(x, y)$.

Vektor ini memiliki panjang dan arah. Nah, panjang dan arah inilah yang kita sebut sebagai Modulus dan Argumen.

Modulus Bilangan Kompleks

Modulus dari suatu bilangan kompleks $z = x + iy$, ditulis sebagai $|z|$, adalah jarak dari titik pangkal $(0,0)$ ke titik $(x, y)$ pada bidang kompleks. Ini sama saja dengan panjang vektor yang merepresentasikan $z$.

Untuk menghitung modulus, kita bisa menggunakan Teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku yang dibentuk oleh bagian riil ($x$), bagian imajiner ($y$), dan modulus ($|z|$) sebagai sisi miringnya.

Definisi Modulus:

Modulus dari bilangan kompleks $z = x + iy$ adalah:

Modulus selalu bernilai non-negatif (tidak pernah negatif) karena merupakan jarak.

Menghitung Modulus

1. Tentukan modulus dari $z_1 = 3 + 4i$, dengan $x=3, y=4$

   $$|z_1| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

2. Tentukan modulus dari $z_2 = -1 - 2i$, dengan $x=-1, y=-2$

   $$|z_2| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$$

3. Tentukan modulus dari $z_3 = 5$, dengan $x=5, y=0$

   $$|z_3| = \sqrt{5^2 + 0^2} = \sqrt{25} = 5$$

   (Modulus bilangan riil adalah nilai mutlaknya).

4. Tentukan modulus dari $z_4 = -2i$, dengan $x=0, y=-2$

   $$|z_4| = \sqrt{0^2 + (-2)^2} = \sqrt{4} = 2$$

Argumen Bilangan Kompleks

Argumen dari bilangan kompleks $z = x + iy$ (yang tidak nol), ditulis sebagai $\arg(z)$ atau $\theta$, adalah sudut yang dibentuk oleh vektor $z$ dengan sumbu riil positif pada bidang kompleks. Sudut ini biasanya diukur dalam radian atau derajat.

Dari trigonometri dasar pada segitiga siku-siku yang sama seperti pada visualisasi modulus, kita tahu hubungan:

Untuk mencari $\theta$, kita bisa menggunakan fungsi arctangen (atau $\tan^{-1}$):

Kalkulator biasanya memberikan nilai $\arctan$ dalam rentang $(-90^\circ, 90^\circ)$ atau $(-\pi/2, \pi/2)$. Kita perlu memperhatikan kuadran di mana titik $(x, y)$ berada untuk menentukan argumen yang benar.

• Kuadran $I$ ($x>0, y>0$):

  $$\theta = \arctan(y/x)$$

• Kuadran $II$ ($x<0, y>0$):

  $$\theta = 180^\circ + \arctan(y/x) \text{ atau } \theta = \pi + \arctan(y/x)$$

• Kuadran $III$ ($x<0, y<0$):

  $$\theta = 180^\circ + \arctan(y/x) \text{ atau } \theta = \pi + \arctan(y/x)$$

• Kuadran $IV$ ($x>0, y<0$):

  $$\theta = 360^\circ + \arctan(y/x) \text{ atau } \theta = 2\pi + \arctan(y/x)$$

  atau cukup

  $$\theta = \arctan(y/x)$$

  jika menginginkan sudut negatif

Seringkali, kita tertarik pada Argumen Utama (ditulis $\text{Arg}(z)$), yaitu nilai argumen yang berada dalam interval $(-180^\circ, 180^\circ]$ atau $(-\pi, \pi]$.

Menghitung Argumen

1. Tentukan argumen dari $z_1 = 1 + i$

   Titik $(1, 1)$ berada di Kuadran $I$.

   $$\tan \theta = \frac{y}{x} = \frac{1}{1} = 1$$

   $$\theta = \arctan(1) = 45^\circ \text{ atau } \frac{\pi}{4} \text{ radian}$$

2. Tentukan argumen dari $z_2 = -\sqrt{3} + i$

   Titik $(-\sqrt{3}, 1)$ berada di Kuadran $II$.

   $$\tan \theta = \frac{y}{x} = \frac{1}{-\sqrt{3}}$$

   $$\text{Sudut dasar} = \arctan\left(\left|\frac{1}{-\sqrt{3}}\right|\right) = \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 30^\circ$$

   $$\theta = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ \text{ atau } \frac{5\pi}{6} \text{ radian}$$

   (Karena di Kuadran $II$, kita gunakan $180^\circ - \text{sudut dasar}$)

3. Tentukan argumen dari $z_3 = -1 - i\sqrt{3}$

   Titik $(-1, -\sqrt{3})$ berada di Kuadran $III$.

   $$\tan \theta = \frac{y}{x} = \frac{-\sqrt{3}}{-1} = \sqrt{3}$$

   $$\text{Sudut dasar} = \arctan(\sqrt{3}) = 60^\circ$$

   $$\theta = 180^\circ + 60^\circ = 240^\circ \text{ atau } \frac{4\pi}{3} \text{ radian}$$

   (Karena di Kuadran $III$, kita gunakan $180^\circ + \text{sudut dasar}$ . Argumen Utama: $-120^\circ$ atau $-2\pi/3$ ).

4. Tentukan argumen dari $z_4 = 3 - 3i$

   Titik $(3, -3)$ berada di Kuadran $IV$.

   $$\tan \theta = \frac{y}{x} = \frac{-3}{3} = -1$$

   $$\text{Sudut dasar} = \arctan(|-1|) = \arctan(1) = 45^\circ$$

   $$\theta = 360^\circ - 45^\circ = 315^\circ \text{ atau } \frac{7\pi}{4} \text{ radian}$$

   (Karena di Kuadran $IV$, kita gunakan $360^\circ - \text{sudut dasar}$ . Argumen Utama: $-45^\circ$ atau $-\pi/4$ ).

Latihan

Tentukan modulus dan argumen (dalam derajat) dari bilangan kompleks berikut:

1. $z_a = 2 + 2i$
2. $z_b = -4$
3. $z_c = -i$

Kunci Jawaban

1. Untuk $z_a = 2 + 2i$:

   $x=2, y=2$ (Kuadran $I$) Modulus:

   $$|z_a| = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$

   Argumen:

   $$\tan \theta = \frac{2}{2} = 1 \implies \theta = \arctan(1) = 45^\circ$$

2. Untuk $z_b = -4$:

   $z_b = -4 + 0i$. $x=-4, y=0$ (Sumbu riil negatif) Modulus:

   $$|z_b| = \sqrt{(-4)^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4$$

   Argumen: Titik berada di sumbu riil negatif.

   $$\theta = 180^\circ$$

3. Untuk $z_c = -i$:

   $z_c = 0 - 1i$. $x=0, y=-1$ (Sumbu imajiner negatif) Modulus:

   $$|z_c| = \sqrt{0^2 + (-1)^2} = \sqrt{1} = 1$$

   Argumen: Titik berada di sumbu imajiner negatif.

   $$\theta = 270^\circ$$

   atau $-90^\circ$ (Argumen Utama).