Sifat Operasi Modulus Bilangan Kompleks

Sifat-sifat Operasi Modulus

Misalkan $z_1$ dan $z_2$ adalah bilangan kompleks.

Modulus Bilangan, Negatifnya, dan Konjugatnya

Modulus dari suatu bilangan kompleks sama dengan modulus dari negatifnya, dan juga sama dengan modulus dari konjugatnya.

Penjelasan:

Ingat bahwa jika $z_1 = x + iy$, maka $-z_1 = -x - iy$ dan $\bar{z_1} = x - iy$.

• $|z_1| = \sqrt{x^2 + y^2}$
• $|-z_1| = \sqrt{(-x)^2 + (-y)^2} = \sqrt{x^2 + y^2}$
• $|\bar{z_1}| = \sqrt{x^2 + (-y)^2} = \sqrt{x^2 + y^2}$

Ketiganya menghasilkan nilai yang sama.

Modulus Selisih

Modulus dari selisih dua bilangan kompleks sama urutannya dibalik.

Penjelasan:

Ini adalah akibat langsung dari sifat pertama. Kita tahu $z_1 - z_2 = -(z_2 - z_1)$. Maka:

Kuadrat Modulus

Kuadrat dari modulus suatu bilangan kompleks sama dengan bilangan kompleks tersebut dikalikan dengan konjugatnya.

Penjelasan:

Jika $z_1 = x + iy$, maka $\bar{z_1} = x - iy$.

Kita juga tahu bahwa $|z_1| = \sqrt{x^2 + y^2}$, sehingga $|z_1|^2 = (\sqrt{x^2 + y^2})^2 = x^2 + y^2$. Jadi, kedua sisi sama.

Modulus Hasil Kali

Modulus dari hasil kali dua bilangan kompleks sama dengan hasil kali modulus masing-masing bilangan kompleks.

Modulus Hasil Bagi

Modulus dari hasil bagi dua bilangan kompleks sama dengan hasil bagi modulus masing-masing bilangan kompleks (dengan penyebut tidak nol).

Ketaksamaan Segitiga

Modulus dari jumlah dua bilangan kompleks kurang dari atau sama dengan jumlah modulus masing-masing bilangan kompleks.

Penjelasan:

Secara geometris, jika kita menganggap $z_1$, $z_2$, dan $z_1 + z_2$ sebagai sisi-sisi segitiga pada bidang kompleks, sifat ini menyatakan bahwa panjang satu sisi ($|z_1 + z_2|$) tidak mungkin lebih besar dari jumlah panjang dua sisi lainnya ($|z_1| + |z_2|$).

Penggunaan Sifat Modulus

Misalkan diberikan bilangan kompleks $z = \frac{1 - 2i}{3 + 4i}$. Tentukanlah $|z|$!

Penyelesaian:

Kita bisa memandang $z = \frac{z_1}{z_2}$ dengan $z_1 = 1 - 2i$ dan $z_2 = 3 + 4i$.

Menggunakan sifat Modulus Hasil Bagi:

Sekarang kita hitung modulus $z_1$ dan $z_2$:

Sehingga,

Ini jauh lebih mudah daripada mengalikan dengan konjugat penyebut terlebih dahulu, baru menghitung modulusnya.

Latihan

1. Jika $z_1 = 6 + 8i$ dan $z_2 = 3 - i$, hitunglah $|z_1 \times z_2|$ menggunakan sifat modulus.
2. Jika $z = 5 - 12i$, buktikan bahwa $|z|^2 = z \times \bar{z}$.

Kunci Jawaban

1. Kita gunakan sifat $|z_1 \times z_2| = |z_1| \times |z_2|$.

   Hitung modulus masing-masing:

   $$|z_1| = |6 + 8i| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$$

   $$|z_2| = |3 - i| = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$$

   Maka:

   $$|z_1 \times z_2| = |z_1| \times |z_2| = 10 \times \sqrt{10} = 10\sqrt{10}$$

2. Diketahui $z = 5 - 12i$.

   Hitung sisi kiri ($|z|^2$):

   $$|z| = |5 - 12i| = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$$

   $$|z|^2 = 13^2 = 169$$

   Hitung sisi kanan ($z \times \bar{z}$):

   Konjugat dari $z$ adalah $\bar{z} = 5 + 12i$.

   $$z \times \bar{z} = (5 - 12i)(5 + 12i) = 5^2 - (12i)^2 = 25 - 144i^2 = 25 - 144(-1) = 25 + 144 = 169$$

   Karena sisi kiri (169) sama dengan sisi kanan (169), maka terbukti $|z|^2 = z \times \bar{z}$.