Domain Kodomain dan Range

Domain

$Domain$ adalah himpunan masukan yang ditetapkan untuk suatu fungsi. Aturan fungsi harus terdefinisi pada setiap anggota domain. Jika domain tidak dinyatakan, kita biasanya mencari domain real terbesar: penyebut harus tidak nol dan bilangan di dalam akar berpangkat genap harus tidak negatif.

Domain juga boleh $dibatasi dengan sengaja$ . Misalnya, aturan $x^2$ terdefinisi untuk semua bilangan real, tetapi fungsi dapat ditetapkan hanya untuk $x\ge0$ .

Contoh Mencari Domain

Fungsi ini memuat pembagian, dan pembagian hanya terdefinisi bila penyebutnya tidak nol:

f(x) = \frac{1}{x}

Aturannya membagi $1$ dengan masukan. Untuk masukan $0$ , penyebutnya menjadi nol:

\frac10

Pembagian dengan nol tidak terdefinisi. Karena itu, $0$ dikeluarkan dari domain, sedangkan $semua bilangan real$ lainnya diperbolehkan.

Jadi, domain fungsi $f(x) = \frac{1}{x}$ adalah semua bilangan nyata kecuali $0$ .

Contoh lain:

g(x) = \sqrt{x}

Aturan ini mengambil akar kuadrat dari masukan. Pengujian $-4$ menghasilkan:

\sqrt{-4}

Pada bilangan real, akar kuadrat memerlukan bilangan di dalam akar yang tidak negatif. Jadi, hanya $0$ dan masukan positif yang diperbolehkan.

Jadi, domain fungsi $g(x) = \sqrt{x}$ adalah semua bilangan nyata yang lebih besar dari atau sama dengan $0$ ( $x \ge 0$ ).

Kodomain

$Kodomain$ adalah himpunan sasaran yang ditetapkan sebagai bagian dari definisi fungsi. Setiap output harus menjadi anggota himpunan ini, tetapi fungsi tidak harus mencapai setiap anggotanya.

Misalnya, kita definisikan sebuah fungsi $f(x) = 2x$ .

Kita tentukan $Domain$ (input) adalah himpunan bilangan asli:

\{1, 2, 3, ...\}

Lalu, kita tentukan $kodomain$ sebagai himpunan bilangan bulat:

\{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}

Dengan memilih bilangan bulat sebagai kodomain, kita menetapkan himpunan tempat setiap nilai $f(x)=2x$ harus berada. Untuk input bilangan asli, fungsi ini sebenarnya hanya menghasilkan bilangan genap positif. Nilai yang tercapai tersebut membentuk range:

\{2, 4, 6, ...\}

Kodomain yang dipilih tetap sah karena setiap hasil aktual dalam range merupakan bilangan bulat.

Jadi, kodomain menjelaskan ruang sasaran yang diizinkan. Kodomain bukan daftar nilai yang pasti dihasilkan fungsi.

Range

$Range$ atau daerah hasil adalah kumpulan keluaran yang benar-benar dihasilkan saat semua anggota domain dimasukkan. Range merupakan himpunan bagian dari kodomain.

$Contoh$ :

Untuk contoh ini, domain dan kodomain fungsi $f(x) = x^2$ adalah himpunan bilangan bulat.

\{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}

Saat kita masukkan nilai-nilai dari domain:

Masukan	Keluaran kuadrat
$-2$	$(-2)^2=4$
$-1$	$(-1)^2=1$
$0$	$0^2=0$
$1$	$1^2=1$
$2$	$2^2=4$

Nilai-nilai yang benar-benar keluar sebagai output adalah $0, 1, 4, 9, 16$ , dan seterusnya (bilangan kuadrat non-negatif).

Jadi, $Range$ dari fungsi ini (dengan domain tersebut) adalah himpunan:

\{0, 1, 4, 9, 16, ...\}

Perhatikan bahwa range ini ( $\{0, 1, 4, 9, ...\}$ ) merupakan bagian (subset) dari kodomain yang kita tentukan (bilangan bulat):

\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}

Tidak semua anggota kodomain menjadi bagian dari range.

Membedakan Domain Kodomain dan Range

Domain mencegah masukan tidak sah seperti pembagian dengan nol. Kodomain menetapkan ruang sasaran, sedangkan range menunjukkan nilai yang benar-benar dicapai fungsi. Ketiga himpunan itu dipakai bersama saat membaca notasi fungsi.

Untuk melihat perbedaannya, batasi contoh kuadrat pada $D=\{-2,-1,0,1,2\}$ dan pilih $K=\{0,1,2,3,4\}$ . $Setiap masukan memiliki satu panah$ , tetapi beberapa anggota kodomain tidak menerima panah.

Domain Kodomain dan Keluaran yang Tercapai

Panah mencapai $0,1,4$ , sehingga $R=\{0,1,4\}$ . Nilai $2$ dan $3$ tetap anggota kodomain, tetapi bukan anggota range contoh terbatas ini.

Hubungan Matematis

Secara matematis, fungsi $f$ memetakan setiap elemen dari himpunan Domain ( $D$ ) ke satu elemen dalam himpunan Kodomain ( $K$ ). Ini sering ditulis sebagai:

f: D \to K

Range ( $R$ ) adalah himpunan semua hasil aktual $f(x)$ untuk setiap $x$ dalam Domain. Dengan kata lain:

R = \{ f(x) \mid x \in D \}

Range $selalu merupakan himpunan bagian dari kodomain$ :

R \subseteq K

Setiap nilai yang benar-benar dicapai fungsi harus termasuk dalam kodomain. Arah sebaliknya tidak wajib: suatu anggota kodomain mungkin tidak pernah muncul sebagai output.

Periksa Pemahamanmu

Diberikan $h:\mathbb{R}\setminus\{2\}\to\mathbb{R}$ dengan $h(x)=\frac1{x-2}$ . Jawab tiga pertanyaan berikut untuk fungsi tersebut. Mulailah dari nilai yang dilarang penyebutnya, lalu tentukan nilai $keluaran$ mana yang dapat dicapai pecahan itu.

Mengapa $2$ dikeluarkan dari domain?
Apakah $0$ dapat menjadi anggota range?
Nyatakan range $h$ .

Pembahasan

Pada $x=2$ , penyebutnya bernilai nol:

$2-2=0$

Ekspresi tersebut tidak terdefinisi. Jadi, $2$ tidak dapat menjadi anggota domain.
Tidak. Pecahan dengan $pembilang$ $1$ tidak mungkin bernilai $0$ .
Setiap nilai real selain nol dapat dicapai. Untuk $y\neq0$ , pilih $x=2+\frac1y$ sehingga $h(x)=y$ . Jadi:

$R_h=\mathbb{R}\setminus\{0\}$