Domain Kodomain dan Range

Domain

Domain adalah himpunan semua masukan yang membuat suatu fungsi terdefinisi. Masukan di luar himpunan ini tidak dapat dihitung oleh fungsi tersebut.

Contoh Mencari Domain

Perhatikan fungsi berikut:

Aturannya membagi $1$ dengan masukan. Untuk masukan $0$, penyebutnya menjadi nol:

Pembagian dengan nol tidak terdefinisi. Karena itu, $0$ dikeluarkan dari domain, sedangkan semua bilangan real lainnya diperbolehkan.

Jadi, domain fungsi $f(x) = \frac{1}{x}$ adalah semua bilangan nyata kecuali $0$.

Contoh lain:

Aturan ini mengambil akar kuadrat dari masukan. Pengujian $-4$ menghasilkan:

Pada bilangan real, akar kuadrat memerlukan bilangan di dalam akar yang tidak negatif. Jadi, hanya $0$ dan masukan positif yang diperbolehkan.

Jadi, domain fungsi $g(x) = \sqrt{x}$ adalah semua bilangan nyata yang lebih besar dari atau sama dengan $0$ ($x \ge 0$).

Kodomain

Kodomain adalah himpunan sasaran yang ditetapkan sebagai bagian dari definisi fungsi. Setiap output harus menjadi anggota himpunan ini, tetapi fungsi tidak harus mencapai setiap anggotanya.

Misalnya, kita definisikan sebuah fungsi $f(x) = 2x$.

Kita tentukan Domain (input) adalah himpunan bilangan asli:

Lalu, kita tentukan kodomain sebagai himpunan bilangan bulat:

Dengan memilih bilangan bulat sebagai kodomain, kita menetapkan himpunan tempat setiap nilai $f(x)=2x$ harus berada. Untuk input bilangan asli, fungsi ini sebenarnya hanya menghasilkan bilangan genap positif. Nilai yang tercapai tersebut membentuk range:

Kodomain yang dipilih tetap sah karena setiap hasil aktual dalam range merupakan bilangan bulat.

Jadi, kodomain menjelaskan ruang sasaran yang diizinkan. Kodomain bukan daftar nilai yang pasti dihasilkan fungsi.

Range

Range (atau daerah hasil) adalah kumpulan semua nilai output yang benar-benar dihasilkan oleh fungsi ketika kita memasukkan semua anggota domain. Range adalah bagian dari (atau kadang sama persis dengan) kodomain.

Contoh:

Untuk contoh ini, domain dan kodomain fungsi $f(x) = x^2$ adalah himpunan bilangan bulat.

Saat kita masukkan nilai-nilai dari domain:

• $f(-2) = 4$
• $f(-1) = 1$
• $f(0) = 0$
• $f(1) = 1$
• $f(2) = 4$
• dan seterusnya...

Nilai-nilai yang benar-benar keluar sebagai output adalah $0, 1, 4, 9, 16$, dan seterusnya (bilangan kuadrat non-negatif).

Jadi, Range dari fungsi ini (dengan domain tersebut) adalah himpunan:

Perhatikan bahwa range ini ($\{0, 1, 4, 9, ...\}$) merupakan bagian (subset) dari kodomain yang kita tentukan (bilangan bulat):

Tidak semua anggota kodomain menjadi bagian dari range.

Membedakan Domain Kodomain dan Range

Domain, kodomain, dan range menjawab pertanyaan yang berbeda. Domain mencegah input tidak sah seperti pembagian dengan nol. Kodomain menetapkan ruang sasaran, sedangkan range menunjukkan nilai yang benar-benar dicapai fungsi.

Hubungan Matematis

Secara matematis, fungsi $f$ memetakan setiap elemen dari himpunan Domain ($D$) ke satu elemen dalam himpunan Kodomain ($K$). Ini sering ditulis sebagai:

Range ($R$) adalah himpunan semua hasil aktual $f(x)$ untuk setiap $x$ dalam Domain. Dengan kata lain:

Range selalu merupakan himpunan bagian dari kodomain:

Setiap nilai yang benar-benar dicapai fungsi harus termasuk dalam kodomain. Arah sebaliknya tidak wajib: suatu anggota kodomain mungkin tidak pernah muncul sebagai output.

Periksa Pemahamanmu

Diberikan $h:\mathbb{R}\setminus\{2\}\to\mathbb{R}$ dengan $h(x)=\frac1{x-2}$.

1. Mengapa $2$ dikeluarkan dari domain?
2. Apakah $0$ dapat menjadi anggota range?
3. Nyatakan range $h$.

Pembahasan

1. Pada $x=2$, penyebutnya bernilai nol:

   $$h(2)=\frac1{2-2}=\frac10$$

   Ekspresi tersebut tidak terdefinisi. Jadi, $2$ tidak dapat menjadi anggota domain.

2. Tidak. Pecahan dengan pembilang $1$ tidak mungkin bernilai $0$.

3. Setiap nilai real selain nol dapat dicapai. Untuk $y\neq0$, pilih $x=2+\frac1y$ sehingga $h(x)=y$. Jadi:

   $$R_h=\mathbb{R}\setminus\{0\}$$