Domain, Kodomain, dan Range

Domain

Domain itu seperti daftar tamu VIP untuk mesin fungsi kita. Ini adalah kumpulan semua nilai input yang boleh dimasukkan ke dalam fungsi. Kalau suatu nilai tidak ada di daftar (domain), dia tidak bisa masuk ke mesin fungsi.

Contoh Mencari Domain

Misalkan kita punya fungsi seperti ini:

f(x) = \frac{1}{x}

Mesin ini bekerja dengan cara membagi 1 dengan angka yang kamu masukkan. Bolehkah kita memasukkan semua angka? Coba masukkan angka 0.

f(0) = \frac{1}{0}

Wah, kita tidak bisa membagi dengan nol! Itu tidak boleh dalam matematika. Jadi, angka 0 tidak termasuk dalam daftar tamu (domain) fungsi ini. Semua angka lain boleh masuk.

Jadi, domain fungsi $f(x) = \frac{1}{x}$ adalah semua bilangan nyata kecuali 0.

Contoh lain:

g(x) = \sqrt{x}

Mesin ini mencari akar kuadrat dari input. Bolehkah kita memasukkan angka negatif, misalnya -4?

g(-4) = \sqrt{-4}

Di dunia bilangan nyata, kita tidak bisa mengakarkuadratkan bilangan negatif. Jadi, semua bilangan negatif tidak boleh masuk. Hanya angka 0 dan angka positif yang boleh.

Jadi, domain fungsi $g(x) = \sqrt{x}$ adalah semua bilangan nyata yang lebih besar dari atau sama dengan 0 ( $x \ge 0$ ).

Kodomain

Kodomain itu seperti katalog semua kemungkinan output yang bisa dikeluarkan oleh mesin fungsi. Ini adalah kumpulan nilai tempat kita mengharapkan outputnya berada. Kita yang menentukan katalog ini saat mendefinisikan fungsi.

Misalnya, kita definisikan sebuah fungsi $f(x) = 2x$ .

Kita tentukan Domain (input) adalah himpunan bilangan asli:

\{1, 2, 3, ...\}

Lalu, kita tentukan Kodomain (kemungkinan output) adalah himpunan bilangan bulat:

\{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}

Dengan menentukan kodomain sebagai bilangan bulat, kita menyatakan bahwa kita berharap hasil dari fungsi $f(x)=2x$ ini adalah bilangan bulat. Meskipun kita tahu bahwa jika inputnya bilangan asli, outputnya pasti bilangan genap positif (yang merupakan Range):

\{2, 4, 6, ...\}

Kodomain yang kita tentukan (bilangan bulat) tetap valid karena semua hasil aktualnya (range) termasuk dalam kodomain tersebut.

Kodomain memberi tahu kita 'jenis' nilai apa yang mungkin keluar, bahkan jika tidak semua nilai dalam kodomain itu benar-benar muncul sebagai hasil.

Range

Range (atau daerah hasil) adalah kumpulan semua nilai output yang benar-benar dihasilkan oleh fungsi ketika kita memasukkan semua anggota domain. Range adalah bagian dari (atau kadang sama persis dengan) kodomain.

Contoh:

Kita gunakan lagi fungsi $f(x) = x^2$ .

Misalkan Domainnya adalah bilangan bulat:

\{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}

dan Kodomainnya juga bilangan bulat.

Saat kita masukkan nilai-nilai dari domain:

$f(-2) = 4$
$f(-1) = 1$
$f(0) = 0$
$f(1) = 1$
$f(2) = 4$
dan seterusnya...

Nilai-nilai yang benar-benar keluar sebagai output adalah 0, 1, 4, 9, 16, dan seterusnya (bilangan kuadrat non-negatif).

Jadi, Range dari fungsi ini (dengan domain tersebut) adalah himpunan:

\{0, 1, 4, 9, 16, ...\}

Perhatikan bahwa range ini ( $\{0, 1, 4, 9, ...\}$ ) merupakan bagian (subset) dari kodomain yang kita tentukan (bilangan bulat):

\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}

Tidak semua anggota kodomain menjadi bagian dari range.

Kenapa Ini Penting?

Memahami domain, kodomain, dan range sangat penting karena membantu kita mendefinisikan fungsi dengan benar dan memahami batasan-batasannya. Tanpa domain yang jelas, kita mungkin mencoba memasukkan nilai yang "merusak" fungsi (seperti membagi dengan nol). Tanpa kodomain dan range, kita tidak tahu persis seperti apa output yang bisa diharapkan.

Hubungan Matematis

Secara matematis, fungsi $f$ memetakan setiap elemen dari himpunan Domain ( $D$ ) ke satu elemen dalam himpunan Kodomain ( $K$ ). Ini sering ditulis sebagai:

f: D \to K

Range ( $R$ ) adalah himpunan semua hasil aktual $f(x)$ untuk setiap $x$ dalam Domain. Dengan kata lain:

R = \{ f(x) \mid x \in D \}

Hubungan penting antara ketiganya adalah bahwa Range selalu merupakan himpunan bagian (subset) dari Kodomain:

R \subseteq K

Artinya, semua nilai yang benar-benar keluar dari fungsi (Range) pasti termasuk dalam kumpulan nilai yang mungkin keluar (Kodomain), tetapi tidak semua nilai dalam Kodomain harus menjadi hasil.