Fungsi dan Bukan Fungsi

Relasi Antar Himpunan

Dalam matematika, relasi dari himpunan $A$ ke himpunan $B$ adalah suatu aturan yang menghubungkan anggota himpunan $A$ dengan anggota himpunan $B$. Pemasangan ini bisa dalam bentuk apapun.

Contoh:

Relasi "kurang dari" antara $A = \{1, 2, 3\}$ dan $B = \{1, 2, 3, 4\}$ menghasilkan pasangan $(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)$.

Penjelasan:

Kita mencari semua pasangan $(a, b)$ dengan $a \in A$ dan $b \in B$ dimana $a < b$.

• Untuk $a=1$ -> $1 < 2$, $1 < 3$, $1 < 4$. Pasangan: $(1, 2), (1, 3), (1, 4)$.
• Untuk $a=2$ -> $2 < 3$, $2 < 4$. Pasangan: $(2, 3), (2, 4)$.
• Untuk $a=3$ -> $3 < 4$. Pasangan: $(3, 4)$.

Gabungan semua pasangan ini adalah $\{(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)\}$.

Fungsi Sebagai Relasi Khusus

Fungsi (atau pemetaan) $f$ dari himpunan $A$ ke himpunan $B$, ditulis $f: A \to B$, adalah relasi khusus yang memenuhi dua syarat:

1. Setiap elemen $x \in A$ harus memiliki pasangan $y \in B$.

   $$\forall x \in A, \exists y \in B \text{ sehingga } (x, y) \in f$$

2. Setiap elemen $x \in A$ memiliki tepat satu pasangan $y \in B$.

   $$\text{Jika } (x, y_1) \in f \text{ dan } (x, y_2) \in f, \text{ maka } y_1 = y_2$$

Artinya, setiap anggota domain harus terhubung, dan tidak boleh memiliki lebih dari satu hubungan.

Contoh Diagram Panah

Berikut adalah contoh visualisasi relasi menggunakan diagram panah untuk membedakan mana yang fungsi dan mana yang bukan.

Relasi Bukan Fungsi

Relasi yang Merupakan Fungsi