Perkalian dan Pembagian Fungsi

Perkalian Dua Fungsi

Mengalikan dua fungsi, $f$ dan $g$, sama mudahnya seperti mengalikan dua bilangan. Kita tinggal kalikan saja hasil $f(x)$ dengan $g(x)$ untuk nilai $x$ yang sama. Hasilnya adalah fungsi baru $(f \cdot g)$.

Sama seperti penjumlahan dan pengurangan, mesin perkalian $(f \cdot g)$ ini hanya bisa mengolah bahan baku (nilai $x$) yang bisa diolah oleh kedua mesin asli, $f$ dan $g$. Jadi, domainnya adalah irisan dari domain $f$ dan domain $g$.

Contoh Perkalian

Mari kita pakai fungsi yang sedikit berbeda kali ini:

1. $f(x) = x^2$, dengan domain $D_f = \{x | x \in \mathbb{R}\}$ (semua bilangan real).
2. $g(x) = x - 1$, dengan domain $D_g = \{x | x \in \mathbb{R}\}$ (semua bilangan real).

Langkah 1: Tentukan fungsi hasil perkalian

Langkah 2: Tentukan domain fungsi hasil perkalian

Kita cari irisan dari $D_f$ dan $D_g$:

Jadi, fungsi hasil perkaliannya adalah $(f \cdot g)(x) = x^3 - x^2$ dengan domain semua bilangan real.

Pembagian Dua Fungsi

Pembagian fungsi $f$ oleh fungsi $g$ juga mirip: kita bagi hasil $f(x)$ dengan $g(x)$. Hasilnya adalah fungsi baru $(\frac{f}{g})$.

Nah, di sini ada aturan tambahan yang sangat penting! Kita tahu bahwa pembagian dengan nol itu tidak boleh. Jadi, selain nilai $x$ harus ada di domain $f$ dan $g$, nilai $g(x)$ (fungsi pembagi) tidak boleh sama dengan nol.

Oleh karena itu, domain dari fungsi pembagian $(\frac{f}{g})$ adalah irisan domain $D_f$ dan $D_g$, tetapi kita harus membuang semua nilai $x$ yang menyebabkan $g(x) = 0$.

Tanda $-$ di sini artinya "dikurangi" atau "dikecualikan".

Contoh Pembagian

Kita pakai fungsi yang sama seperti contoh perkalian:

1. $f(x) = x^2$, $D_f = \{x | x \in \mathbb{R}\}$
2. $g(x) = x - 1$, $D_g = \{x | x \in \mathbb{R}\}$

Langkah 1: Tentukan fungsi hasil pembagian

Langkah 2: Tentukan domain fungsi hasil pembagian

Pertama, kita cari irisan $D_f$ dan $D_g$:

Kedua, kita cari nilai $x$ yang membuat $g(x) = 0$:

Ketiga, kita kecualikan nilai $x=1$ dari irisan domain:

Atau bisa ditulis juga sebagai:

Jadi, fungsi hasil pembagiannya adalah $(\frac{f}{g})(x) = \frac{x^2}{x-1}$ dengan domain semua bilangan real kecuali $x=1$.

Latihan Soal

Diketahui fungsi $f(x) = \sqrt{x+4}$ dengan $D_f = \{x | x \ge -4, x \in \mathbb{R}\}$ dan fungsi $g(x) = x^2 - 9$ dengan $D_g = \{x | x \in \mathbb{R}\}$.

1. Tentukan $(f \cdot g)(x)$ dan domainnya $D_{f \cdot g}$.
2. Tentukan $(\frac{f}{g})(x)$ dan domainnya $D_{\frac{f}{g}}$.
3. Hitung nilai $(f \cdot g)(5)$.
4. Apakah $(\frac{f}{g})(3)$ terdefinisi? Jelaskan.

Kunci Jawaban

1. Mencari $(f \cdot g)(x)$:

   $$(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)$$

   $$= (\sqrt{x+4}) \cdot (x^2 - 9)$$

   $$= (x^2 - 9)\sqrt{x+4}$$

   Mencari Domain $D_{f \cdot g}$:

   $$D_{f \cdot g} = D_f \cap D_g$$

   $$= \{x | x \ge -4, x \in \mathbb{R}\} \cap \{x | x \in \mathbb{R}\}$$

   $$= \{x | x \ge -4, x \in \mathbb{R}\}$$

   Jadi, $(f \cdot g)(x) = (x^2 - 9)\sqrt{x+4}$ dengan domain $\{x | x \ge -4, x \in \mathbb{R}\}$.

2. Mencari $(\frac{f}{g})(x)$:

   $$\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\sqrt{x+4}}{x^2 - 9}$$

   Mencari Domain $D_{\frac{f}{g}}$:

   Irisan domain: $D_f \cap D_g = \{x | x \ge -4, x \in \mathbb{R}\}$.

   Cari $x$ yang membuat $g(x)=0$:

   $$g(x) = 0$$

   $$x^2 - 9 = 0$$

   $$(x-3)(x+3) = 0$$

   $$x = 3 \text{ atau } x = -3$$

   Kecualikan $x=3$ dan $x=-3$ dari irisan domain:

   $$D_{\frac{f}{g}} = \{x | x \ge -4, x \in \mathbb{R}\} - \{-3, 3\}$$

   Atau bisa ditulis:

   $$D_{\frac{f}{g}} = \{x | x \ge -4, x \in \mathbb{R}, x \neq -3, x \neq 3\}$$

   Jadi, $(\frac{f}{g})(x) = \frac{\sqrt{x+4}}{x^2 - 9}$ dengan domain $\{x | x \ge -4, x \neq -3, x \neq 3\}$.

3. Menghitung $(f \cdot g)(5)$:

   Kita gunakan hasil dari nomor 1: $(f \cdot g)(x) = (x^2 - 9)\sqrt{x+4}$.

   Karena $5 \ge -4$, $x=5$ ada di dalam domain $D_{f \cdot g}$.

   $$(f \cdot g)(5) = (5^2 - 9)\sqrt{5+4}$$

   $$= (25 - 9)\sqrt{9}$$

   $$= (16)(3)$$

   $$= 48$$

4. Apakah $(\frac{f}{g})(3)$ terdefinisi?

   Tidak terdefinisi. Kita lihat domain dari $(\frac{f}{g})(x)$ pada nomor 2, yaitu $\{x | x \ge -4, x \neq -3, x \neq 3\}$. Nilai $x=3$ secara eksplisit dikecualikan dari domain karena akan menyebabkan penyebut $g(x) = x^2 - 9$ menjadi nol ($3^2 - 9 = 0$). Pembagian dengan nol tidak diperbolehkan dalam matematika.