Komposisi Fungsi

Memahami Komposisi Fungsi

Bayangkan kamu sedang berbelanja di sebuah toko yang menawarkan dua promo menarik:

1. Promo A: Diskon $20\%$, lalu dipotong lagi $\text{Rp}25.000,00$.
2. Promo B: Potongan harga $\text{Rp}25.000,00$, lalu didiskon $20\%$.

Apakah kedua promo ini memberikan hasil akhir yang sama? Promo mana yang lebih menguntungkan? Untuk menjawabnya, kita perlu memahami konsep komposisi fungsi.

Definisi Komposisi Fungsi

Komposisi fungsi adalah penggabungan dua fungsi atau lebih secara berurutan sehingga menghasilkan fungsi baru.

Jika kita punya fungsi $g: A \to B$ dan fungsi $f: B \to C$, maka komposisi keduanya, yang ditulis sebagai $(f \circ g)(x)$, adalah fungsi baru yang memetakan langsung dari domain $A$ ke kodomain $C$.

Artinya, kita menerapkan fungsi $g$ terlebih dahulu, lalu hasilnya kita masukkan ke fungsi $f$.

Secara matematis, ini ditulis sebagai:

Perhitungan Promo

Mari kita hitung hasil akhir untuk barang seharga $\text{Rp}200.000,00$ dengan kedua promo di atas menggunakan konsep fungsi.

Misalkan $x$ adalah harga awal barang.

• Fungsi diskon $20\%$: $d(x) = x - 0.20x = 0.80x$
• Fungsi potongan $\text{Rp}25.000,00$: $p(x) = x - 25000$

Sekarang kita komposisikan kedua fungsi sesuai urutan promo:

1. Promo A (Diskon dulu, baru potong harga): Kita mencari $(p \circ d)(x)$

   $$(p \circ d)(x) = p(d(x)) = p(0.80x) = 0.80x - 25000$$

   Untuk $x = 200000$:

   $$(p \circ d)(200000) = 0.80(200000) - 25000 = 160000 - 25000 = 135000$$

   Jadi, harga akhir dengan Promo A adalah $\text{Rp}135.000,00$.

2. Promo B (Potong harga dulu, baru diskon): Kita mencari $(d \circ p)(x)$

   $$(d \circ p)(x) = d(p(x)) = d(x - 25000) = 0.80(x - 25000) = 0.80x - 20000$$

   Untuk $x = 200000$:

   $$(d \circ p)(200000) = 0.80(200000) - 20000 = 160000 - 20000 = 140000$$

   Jadi, harga akhir dengan Promo B adalah $\text{Rp}140.000,00$.

Ternyata, urutan penerapan fungsi (diskon dan potongan harga) memengaruhi hasil akhir. Promo A ($p \circ d$) lebih menguntungkan pembeli daripada Promo B ($d \circ p$) untuk barang seharga $\text{Rp}200.000,00$. Ini menunjukkan bahwa secara umum, $(f \circ g)(x) \neq (g \circ f)(x)$.

Contoh Lain

Misalkan kita punya dua fungsi:

Tentukan $(f \circ g)(x)$ dan $(g \circ f)(x)$.

Penyelesaian:

1. Mencari $(f \circ g)(x)$:

   $$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^2 - 3)$$

   Gantikan $x$ dalam $f(x)$ dengan $g(x)$:

   $$f(x^2 - 3) = 2(x^2 - 3) + 1 = 2x^2 - 6 + 1 = 2x^2 - 5$$

   Jadi, $(f \circ g)(x) = 2x^2 - 5$.

2. Mencari $(g \circ f)(x)$:

   $$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 1)$$

   Gantikan $x$ dalam $g(x)$ dengan $f(x)$:

   $$g(2x + 1) = (2x + 1)^2 - 3 = (4x^2 + 4x + 1) - 3 = 4x^2 + 4x - 2$$

   Jadi, $(g \circ f)(x) = 4x^2 + 4x - 2$.

Perhatikan bahwa $(f \circ g)(x) \neq (g \circ f)(x)$, sesuai dengan sifat tidak komutatif.