Pemodelan Fungsi Piecewise

Pengertian Fungsi Piecewise

Fungsi piecewise (fungsi sepotong-sepotong) adalah fungsi yang didefinisikan oleh beberapa persamaan berbeda pada interval-interval tertentu dari domainnya. Setiap "potongan" fungsi berlaku pada bagian domain yang spesifik.

Definisi Matematika

Fungsi piecewise dapat ditulis dalam bentuk:

dengan $D_1, D_2, D_3, \ldots, D_n$ adalah interval-interval yang membentuk partisi dari domain fungsi.

Karakteristik fungsi piecewise:

• Terdiri dari beberapa persamaan berbeda
• Setiap persamaan berlaku pada interval tertentu
• Dapat kontinu atau diskontinu
• Interval-interval tidak saling tumpang tindih

Jenis-jenis Fungsi Piecewise

Fungsi Piecewise Linear

Fungsi piecewise linear adalah fungsi yang setiap potongannya merupakan fungsi linear.

Fungsi di atas dapat ditulis sebagai:

Fungsi Piecewise Kuadratik

Fungsi piecewise dapat juga mengandung potongan-potongan kuadratik atau kombinasi linear dan kuadratik.

Kontinuitas Fungsi Piecewise

Fungsi Piecewise Kontinu

Fungsi piecewise dikatakan kontinu jika tidak ada "lompatan" pada titik-titik sambungan antar potongan.

Syarat kontinuitas di titik $x = c$:

Contoh fungsi piecewise kontinu:

Untuk kontinu di $x = 2$:

• $\lim_{x \to 2^-} (x + 1) = 3$
• $\lim_{x \to 2^+} (5 - x) = 3$
• $f(2) = 3$

Fungsi Piecewise Diskontinu

Fungsi piecewise diskontinu memiliki "lompatan" atau "lubang" pada titik-titik tertentu.

Pemodelan dengan Fungsi Piecewise

Tarif Progresif

Banyak situasi nyata dapat dimodelkan dengan fungsi piecewise, seperti tarif pajak progresif atau biaya parkir bertingkat.

Contoh: Tarif Listrik

Perusahaan listrik menerapkan tarif bertingkat:

• $0\text{-}50$ kWh: Rp 1.000/kWh
• $51\text{-}100$ kWh: Rp 1.500/kWh
• $>$ 100 kWh: Rp 2.000/kWh

Model matematikanya:

Tabel biaya listrik:

Kecepatan Bertahap

Contoh: Perjalanan Multi-Moda

Seseorang melakukan perjalanan dengan:

• Berjalan kaki: $5 \text{ km/jam}$ selama $0{,}5 \text{ jam}$
• Naik sepeda: $15 \text{ km/jam}$ selama $1 \text{ jam}$
• Naik mobil: $60 \text{ km/jam}$ selama $0{,}5 \text{ jam}$

Fungsi jarak terhadap waktu:

Menentukan Persamaan Fungsi Piecewise

Untuk menentukan persamaan fungsi piecewise dari grafik atau situasi:

1. Identifikasi interval-interval domain
2. Tentukan persamaan untuk setiap interval
3. Periksa kontinuitas di titik sambungan
4. Tulis dalam notasi piecewise

Contoh:

Dari grafik yang menunjukkan:

• Garis dengan kemiringan $2$ dari $x = -2$ hingga $x = 0$
• Garis horizontal $y = 4$ dari $x = 0$ hingga $x = 2$
• Garis dengan kemiringan $-1$ dari $x = 2$ hingga $x = 4$

Langkah penyelesaian:

1. Interval 1: $[-2, 0)$

• Melalui $(-2, 0)$ dengan kemiringan $2$
  • Persamaan: $y = 2(x + 2) = 2x + 4$

2. Interval 2: $[0, 2)$

   • Garis horizontal
   • Persamaan: $y = 4$

3. Interval 3: $[2, 4]$

• Melalui $(2, 4)$ dengan kemiringan $-1$
  • Persamaan: $y = -1(x - 2) + 4 = -x + 6$

Fungsi piecewise:

Latihan

1. Tentukan nilai $f(1)$, $f(3)$, dan $f(5)$ untuk fungsi:

   $$f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{jika } x < 2 \\ 2x + 1, & \text{jika } 2 \leq x < 4 \\ 9, & \text{jika } x \geq 4 \end{cases}$$

2. Sebuah perusahaan taksi online menerapkan tarif:

   • Tarif dasar: Rp 10.000 (untuk $2 \text{ km}$ pertama)

• Km $3\text{-}10$: Rp 4.000/km

  • Di atas $10 \text{ km}$: Rp 3.000/km

  Buatlah model fungsi piecewise untuk total biaya!

3. Tentukan apakah fungsi berikut kontinu di $x = 1$:

   $$g(x) = \begin{cases} 3x - 1, & \text{jika } x < 1 \\ 2, & \text{jika } x = 1 \\ x + 1, & \text{jika } x > 1 \end{cases}$$

4. Sketsa grafik fungsi:

   $$h(x) = \begin{cases} -x + 2, & \text{jika } x < 0 \\ x^2, & \text{jika } 0 \leq x < 2 \\ 4, & \text{jika } x \geq 2 \end{cases}$$

5. Seorang pekerja dibayar dengan sistem:

   • $8 \text{ jam}$ pertama: Rp 50.000/jam
   • Lembur (jam ke-$9$ dst): Rp 75.000/jam

   Jika maksimal kerja $12 \text{ jam}$/hari, buatlah fungsi upah harian!

Kunci Jawaban

1. Menghitung nilai fungsi:

   Untuk $f(1)$: karena $1 < 2$, gunakan $f(x) = x^2$

   $$f(1) = 1^2 = 1$$

   Untuk $f(3)$: karena $2 \leq 3 < 4$, gunakan $f(x) = 2x + 1$

   $$f(3) = 2(3) + 1 = 7$$

   Untuk $f(5)$: karena $5 \geq 4$, gunakan $f(x) = 9$

   $$f(5) = 9$$

2. Model tarif taksi:

   Misalkan $x$ adalah jarak dalam km, maka:

   $$C(x) = \begin{cases} 10000, & \text{jika } 0 < x \leq 2 \\ 10000 + 4000(x-2), & \text{jika } 2 < x \leq 10 \\ 10000 + 32000 + 3000(x-10), & \text{jika } x > 10 \end{cases}$$

   Atau disederhanakan:

   $$C(x) = \begin{cases} 10000, & \text{jika } 0 < x \leq 2 \\ 4000x + 2000, & \text{jika } 2 < x \leq 10 \\ 3000x + 12000, & \text{jika } x > 10 \end{cases}$$

3. Memeriksa kontinuitas:

   Di $x = 1$:

   $$\lim_{x \to 1^-} g(x) = \lim_{x \to 1^-} (3x - 1) = 3(1) - 1 = 2$$

   $$\lim_{x \to 1^+} g(x) = \lim_{x \to 1^+} (x + 1) = 1 + 1 = 2$$

   $$g(1) = 2$$

   Karena $\lim_{x \to 1^-} g(x) = \lim_{x \to 1^+} g(x) = g(1) = 2$, maka fungsi kontinu di $x = 1$.

4. Sketsa grafik $h(x)$:

   Grafik Fungsi $h(x)$

   Fungsi piecewise dengan tiga bagian: linear menurun, kuadratik, dan konstan

   Toggle GridToggle Play

5. Fungsi upah harian:

   Misalkan $t$ adalah jam kerja, maka:

   $$U(t) = \begin{cases} 50000t, & \text{jika } 0 < t \leq 8 \\ 400000 + 75000(t-8), & \text{jika } 8 < t \leq 12 \end{cases}$$

   Atau disederhanakan:

   $$U(t) = \begin{cases} 50000t, & \text{jika } 0 < t \leq 8 \\ 75000t - 200000, & \text{jika } 8 < t \leq 12 \end{cases}$$