Pemodelan Fungsi Tangga

Pengertian Fungsi Tangga

Fungsi tangga (step function) adalah jenis fungsi matematika yang memiliki nilai konstan pada interval-interval tertentu dan mengalami lompatan mendadak di titik-titik tertentu. Grafik fungsi ini menyerupai tangga, dengan garis horizontal yang menghubungkan titik-titik diskontinuitas.

Definisi Matematika

Fungsi tangga dapat didefinisikan sebagai fungsi sepotong-sepotong (piecewise function) yang berbentuk:

f(x) = \begin{cases} c_1, & \text{jika } a_1 \leq x < b_1 \\ c_2, & \text{jika } a_2 \leq x < b_2 \\ c_3, & \text{jika } a_3 \leq x < b_3 \\ \vdots \\ c_n, & \text{jika } a_n \leq x < b_n \end{cases}

dengan $c_1, c_2, c_3, \ldots, c_n$ adalah konstanta-konstanta dan $[a_i, b_i)$ adalah interval-interval yang tidak saling tumpang tindih.

Karakteristik fungsi tangga:

Nilai konstan pada setiap interval
Diskontinuitas lompat di titik-titik batas interval
Grafik berbentuk seperti tangga
Termasuk dalam kategori fungsi sepotong-sepotong

Jenis-jenis Fungsi Tangga

Fungsi Lantai (Floor Function)

Fungsi lantai, dilambangkan dengan $\lfloor x \rfloor$ , memberikan bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan $x$ .

\lfloor x \rfloor = \max\{n \in \mathbb{Z} : n \leq x\}

Supaya lebih mudah dipahami, mari kita lihat contoh berikut:

Fungsi Lantai

f(x) = \lfloor x \rfloor

Grafik menunjukkan fungsi lantai yang memberikan nilai bilangan bulat terbesar yang tidak melebihi x.

Tabel nilai fungsi lantai:

x	-2.5	-1.7	-1	-0.3	0	0.8	1	1.9	2.4
$\lfloor x \rfloor$	-3	-2	-1	-1	0	0	1	1	2

Fungsi Langit-langit (Ceiling Function)

Fungsi langit-langit, dilambangkan dengan $\lceil x \rceil$ , memberikan bilangan bulat terkecil yang lebih besar dari atau sama dengan $x$ .

\lceil x \rceil = \min\{n \in \mathbb{Z} : n \geq x\}

Kita lihat contoh berikut:

Fungsi Langit-langit

f(x) = \lceil x \rceil

Grafik menunjukkan fungsi langit-langit yang memberikan nilai bilangan bulat terkecil yang tidak kurang dari x.

Fungsi Unit Step (Heaviside)

Fungsi unit step atau fungsi Heaviside, dilambangkan dengan $H(x)$ atau $u(x)$ , didefinisikan sebagai:

H(x) = \begin{cases} 0, & \text{jika } x < 0 \\ 1, & \text{jika } x \geq 0 \end{cases}

Berbeda dengan fungsi lantai dan langit-langit, fungsi unit step memiliki nilai 0 untuk $x < 0$ dan 1 untuk $x \geq 0$ .

Fungsi Unit Step

H(x)

Grafik menunjukkan fungsi unit step yang melompat dari 0 ke 1 di titik x = 0.

Sifat-sifat Fungsi Tangga

Sifat umum:

Domain: $\mathbb{R}$ (biasanya)
Range: Himpunan nilai diskrit
Kontinuitas: diskontinuitas lompat di titik-titik tertentu

Sifat khusus fungsi lantai dan langit-langit:

$\lfloor x \rfloor \leq x < \lfloor x \rfloor + 1$
$\lceil x \rceil - 1 < x \leq \lceil x \rceil$
$\lceil x \rceil = \lfloor x \rfloor + 1 \text{ jika } x \notin \mathbb{Z}$
$\lceil x \rceil = \lfloor x \rfloor \text{ jika } x \in \mathbb{Z}$

Tabel perbandingan fungsi lantai dan langit-langit:

x	$\lfloor x \rfloor$	$\lceil x \rceil$	Selisih
-2.3	-3	-2	1
-1	-1	-1	0
0.7	0	1	1
2	2	2	0
3.8	3	4	1

Transformasi Fungsi Tangga

Translasi Vertikal

Fungsi $f(x) = \lfloor x \rfloor + k$ menggeser grafik fungsi lantai ke atas (jika $k > 0$ ) atau ke bawah (jika $k < 0$ ).

Translasi Vertikal Fungsi Lantai

Perbandingan

f(x) = \lfloor x \rfloor

dengan

g(x) = \lfloor x \rfloor + 2

dan

h(x) = \lfloor x \rfloor - 1

Translasi Horizontal

Fungsi $f(x) = \lfloor x - h \rfloor$ menggeser grafik ke kanan (jika $h > 0$ ) atau ke kiri (jika $h < 0$ ).

Latihan

Tentukan nilai dari $\lfloor 3.7 \rfloor + \lceil -2.3 \rceil$
Sebuah toko buku memberikan diskon berdasarkan jumlah pembelian:
- 1-5 buku: tidak ada diskon
- 6-10 buku: diskon 10%
- 11-20 buku: diskon 15%
- 20 buku: diskon 20%
Jika harga per buku Rp 50.000, buatlah fungsi yang menyatakan total harga setelah diskon!
Grafik fungsi $f(x) = 2\lfloor x \rfloor - 1$ untuk $-3 \leq x \leq 3$
Selesaikan persamaan $\lfloor 2x + 1 \rfloor = 5$
Sebuah lift dapat menampung maksimal 8 orang. Jika ada $n$ orang yang ingin naik lift, berapa kali lift harus beroperasi?

Kunci Jawaban

Menghitung nilai fungsi lantai dan langit-langit:

$\lfloor 3.7 \rfloor = 3 \text{ (bilangan bulat terbesar } \leq 3.7\text{)}$
$\lceil -2.3 \rceil = -2 \text{ (bilangan bulat terkecil } \geq -2.3\text{)}$
$\lfloor 3.7 \rfloor + \lceil -2.3 \rceil = 3 + (-2) = 1$
Model fungsi diskon toko buku:

Misalkan $n$ adalah jumlah buku yang dibeli, maka total harga setelah diskon adalah:

$H(n) = \begin{cases} 50000n, & \text{jika } 1 \leq n \leq 5 \\ 50000n \times 0.9, & \text{jika } 6 \leq n \leq 10 \\ 50000n \times 0.85, & \text{jika } 11 \leq n \leq 20 \\ 50000n \times 0.8, & \text{jika } n > 20 \end{cases}$
Grafik fungsi $f(x) = 2\lfloor x \rfloor - 1$ :

Untuk setiap interval:
- $-3 \leq x < -2: f(x) = 2(-3) - 1 = -7$
- $-2 \leq x < -1: f(x) = 2(-2) - 1 = -5$
- $-1 \leq x < 0: f(x) = 2(-1) - 1 = -3$
- $0 \leq x < 1: f(x) = 2(0) - 1 = -1$
- $1 \leq x < 2: f(x) = 2(1) - 1 = 1$
- $2 \leq x \leq 3: f(x) = 2(2) - 1 = 3$
Jika kita buat grafiknya, kira-kira akan terlihat seperti berikut:

Grafik $f(x) = 2\lfloor x \rfloor - 1$
Grafik menunjukkan transformasi fungsi lantai dengan faktor skala 2 dan translasi vertikal -1.
Menyelesaikan persamaan $\lfloor 2x + 1 \rfloor = 5$ :

$5 \leq 2x + 1 < 6$
$4 \leq 2x < 5$
$2 \leq x < 2.5$

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah $x \in [2, 2.5)$ .
Menghitung jumlah operasi lift:

Jika ada $n$ orang dan lift dapat menampung maksimal 8 orang, maka jumlah operasi lift yang diperlukan adalah:

$f(n) = \lceil \frac{n}{8} \rceil$

Fungsi langit-langit digunakan karena jika ada sisa orang (kurang dari 8), tetap diperlukan satu operasi lift tambahan.

Command Palette