Fungsi Rasional

Apa itu Fungsi Rasional?

Pernahkah kamu melihat pecahan dalam matematika? Nah, fungsi rasional itu mirip dengan pecahan, tapi lebih menarik karena melibatkan variabel!

Fungsi rasional adalah fungsi yang berbentuk pecahan, di mana pembilang dan penyebutnya adalah fungsi polinomial. Secara sederhana, fungsi rasional bisa ditulis sebagai:

f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}

Di mana:

$P(x)$ adalah polinomial di pembilang
$Q(x)$ adalah polinomial di penyebut
$Q(x) \neq 0$ (penyebut tidak boleh nol)

Contoh Fungsi Rasional dalam Kehidupan

Mari kita lihat contoh nyata untuk memahami fungsi rasional lebih baik.

Masalah Kandang Ayam:

Pak Budi ingin membuat kandang ayam berbentuk persegi panjang dengan luas 100 m². Dia ingin tahu hubungan antara panjang dan lebar kandang.

Jika panjang kandang adalah $x$ meter, maka:

Luas = panjang × lebar = 100
$x \times \text{lebar} = 100$
Lebar = $\frac{100}{x}$

Fungsi $f(x) = \frac{100}{x}$ adalah contoh fungsi rasional!

Bentuk-bentuk Fungsi Rasional

Fungsi Rasional Sederhana

Bentuk paling sederhana dari fungsi rasional:

f(x) = \frac{k}{x}

Di mana $k$ adalah konstanta. Contoh: $f(x) = \frac{5}{x}$

Fungsi Rasional Linear

Pembilang dan penyebutnya adalah fungsi linear:

f(x) = \frac{ax + b}{cx + d}

Contoh: $f(x) = \frac{2x + 3}{x - 1}$

Fungsi Rasional Kuadrat

Melibatkan fungsi kuadrat di pembilang atau penyebut:

f(x) = \frac{x^2 + 2x + 1}{x - 3}

Domain Fungsi Rasional

Domain fungsi rasional adalah semua nilai $x$ yang membuat fungsi terdefinisi. Ingat, penyebut tidak boleh nol!

Cara mencari domain:

Cari nilai $x$ yang membuat penyebut = 0
Domain adalah semua bilangan real kecuali nilai-nilai tersebut

Contoh: Tentukan domain dari $f(x) = \frac{x + 2}{x - 3}$

Penyelesaian:

Penyebut nol ketika: $x - 3 = 0$
Jadi: $x = 3$
Domain: $D_f = \{x | x \neq 3, x \in \mathbb{R}\}$

Menyederhanakan Fungsi Rasional

Fungsi rasional bisa disederhanakan dengan mencari faktor persekutuan pembilang dan penyebut.

Tanpa Pemfaktoran

Sederhanakan: $f(x) = \frac{6x^2}{3x}$

Penyelesaian:

f(x) = \frac{6x^2}{3x}

= \frac{6x \cdot x}{3x}

= \frac{6x}{3} \cdot \frac{x}{x}

= 2x

Dengan Pemfaktoran

Sederhanakan: $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$

Penyelesaian:

f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}

= \frac{(x + 2)(x - 2)}{x - 2}

= x + 2

Catatan: $x \neq 2$ (dari domain awal)

Operasi pada Fungsi Rasional

Penjumlahan dan Pengurangan

Sama seperti pecahan biasa, kita perlu samakan penyebutnya dulu!

Contoh: $\frac{2}{x} + \frac{3}{x + 1}$

Penyelesaian:

\frac{2}{x} + \frac{3}{x + 1}

= \frac{2(x + 1)}{x(x + 1)} + \frac{3x}{x(x + 1)}

= \frac{2(x + 1) + 3x}{x(x + 1)}

= \frac{2x + 2 + 3x}{x(x + 1)}

= \frac{5x + 2}{x(x + 1)}

Perkalian

Kalikan pembilang dengan pembilang, penyebut dengan penyebut:

\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}

Contoh: $\frac{x + 1}{x} \times \frac{2x}{x - 1}$

Penyelesaian:

\frac{x + 1}{x} \times \frac{2x}{x - 1} = \frac{2x(x + 1)}{x(x - 1)} = \frac{2(x + 1)}{x - 1}

Pembagian

Ingat, membagi = mengalikan dengan kebalikannya:

\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}

Latihan

Tentukan domain dari $f(x) = \frac{x + 3}{x^2 - 9}$
Sederhanakan $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x + 1}$
Hitung $\frac{1}{x - 1} - \frac{2}{x + 1}$
Sebuah mobil menempuh jarak 300 km. Jika kecepatan rata-rata $v$ km/jam, tuliskan fungsi waktu tempuh dalam $v$ .

Kunci Jawaban

Jawaban 1:

x^2 - 9 = 0

(x + 3)(x - 3) = 0

x = -3 \text{ atau } x = 3

Domain: $D_f = \{x | x \neq -3, x \neq 3, x \in \mathbb{R}\}$

Jawaban 2:

f(x) = \frac{x^2 - 1}{x + 1}

= \frac{(x + 1)(x - 1)}{x + 1}

= x - 1

Dengan syarat $x \neq -1$

Jawaban 3:

\frac{1}{x - 1} - \frac{2}{x + 1}

= \frac{(x + 1) - 2(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)}

= \frac{x + 1 - 2x + 2}{(x - 1)(x + 1)}

= \frac{-x + 3}{(x - 1)(x + 1)}

Jawaban 4:

Waktu = Jarak ÷ Kecepatan

t(v) = \frac{300}{v}

Command Palette