Kode sumberVideo

Command Palette

Search for a command to run...

Fungsi dan Pemodelannya

Identitas Fungsi Logaritma

Pengertian Identitas Logaritma

Identitas logaritma adalah sifat-sifat khusus yang berlaku untuk semua fungsi logaritma. Sifat-sifat ini sangat membantu kita dalam menyederhanakan perhitungan dan menyelesaikan persamaan logaritma yang rumit.

Sebelum membahas identitas logaritma, mari ingat kembali bahwa logaritma adalah kebalikan dari eksponen. Jika bx=ab^x = a, maka blog⁡a=x^b\log a = x.

Identitas Dasar Logaritma

Identitas Perkalian

blog⁡(MN)=blog⁡M+blog⁡N^b\log(MN) = {^b\log M} + {^b\log N}

Logaritma dari perkalian sama dengan penjumlahan logaritma masing-masing bilangan.

Contoh:

2log⁡(8×4)=2log⁡8+2log⁡4=3+2=5^2\log(8 \times 4) = {^2\log 8} + {^2\log 4} = 3 + 2 = 5

Identitas Pembagian

blog⁡(MN)=blog⁡M−blog⁡N^b\log\left(\frac{M}{N}\right) = {^b\log M} - {^b\log N}

Logaritma dari pembagian sama dengan pengurangan logaritma pembilang dengan logaritma penyebut.

Contoh:

3log⁡(819)=3log⁡81−3log⁡9=4−2=2^3\log\left(\frac{81}{9}\right) = {^3\log 81} - {^3\log 9} = 4 - 2 = 2

Identitas Perpangkatan

blog⁡(Mp)=p⋅blog⁡M^b\log(M^p) = p \cdot {^b\log M}

Logaritma dari suatu bilangan berpangkat sama dengan pangkat dikali logaritma bilangan tersebut.

Contoh:

2log⁡(43)=3⋅2log⁡4=3×2=6^2\log(4^3) = 3 \cdot {^2\log 4} = 3 \times 2 = 6

Identitas Khusus Logaritma

Perubahan Basis

blog⁡M=alog⁡Malog⁡b^b\log M = \frac{^a\log M}{^a\log b}

Identitas ini memungkinkan kita mengubah basis logaritma sesuai kebutuhan.

Contoh:

3log⁡9=10log⁡910log⁡3=0,9540,477=2^3\log 9 = \frac{^{10}\log 9}{^{10}\log 3} = \frac{0,954}{0,477} = 2

Identitas Kesamaan

Jika blog⁡M=blog⁡N^b\log M = {^b\log N}, maka M=NM = N

Dua bilangan yang memiliki nilai logaritma sama (dengan basis sama) pasti merupakan bilangan yang sama.

Identitas Ketaksamaan

  • Jika b>1b > 1 dan blog⁡M<blog⁡N^b\log M < {^b\log N}, maka M<NM < N
  • Jika 0<b<10 < b < 1 dan blog⁡M<blog⁡N^b\log M < {^b\log N}, maka M>NM > N

Penerapan Identitas Logaritma

Menyederhanakan Ekspresi

Sederhanakan 2log⁡32+2log⁡8−2log⁡4^2\log 32 + {^2\log 8} - {^2\log 4}

Penyelesaian:

2log⁡32+2log⁡8−2log⁡4^2\log 32 + {^2\log 8} - {^2\log 4}
=2log⁡(32×8)−2log⁡4= {^2\log(32 \times 8)} - {^2\log 4}
=2log⁡256−2log⁡4= {^2\log 256} - {^2\log 4}
=2log⁡(2564)= {^2\log\left(\frac{256}{4}\right)}
=2log⁡64=6= {^2\log 64} = 6

Menyelesaikan Persamaan

Tentukan nilai xx jika 3log⁡x+3log⁡9=3log⁡81^3\log x + {^3\log 9} = {^3\log 81}

Penyelesaian:

3log⁡x+3log⁡9=3log⁡81^3\log x + {^3\log 9} = {^3\log 81}
3log⁡(x×9)=3log⁡81^3\log(x \times 9) = {^3\log 81}
x×9=81x \times 9 = 81
x=819=9x = \frac{81}{9} = 9

Aplikasi dalam Kehidupan Nyata

Skala Richter

Kekuatan gempa bumi diukur menggunakan skala Richter yang berbasis logaritma:

R=log⁡(II0)R = \log\left(\frac{I}{I_0}\right)

Di mana:

  • RR = nilai skala Richter
  • II = intensitas gempa
  • I0I_0 = intensitas referensi (tingkat nol)

Contoh: Gempa bumi yang terjadi di Haiti pada tahun 2010 memiliki intensitas 10710^7 kali dibandingkan gempa bumi tingkat nol. Berapa skala Richter kekuatan gempa tersebut?

Penyelesaian:

R=log⁡(II0)R = \log\left(\frac{I}{I_0}\right)
=log⁡(107I0I0)= \log\left(\frac{10^7 I_0}{I_0}\right)
=log⁡(107)= \log(10^7)
=7= 7

Jadi, gempa bumi di Haiti pada tahun 2010 tersebut memiliki kekuatan 7 skala Richter.

Pengisian Baterai

Waktu pengisian baterai dapat dihitung dengan rumus logaritma:

t=−1kln⁡(1−CC0)t = -\frac{1}{k}\ln\left(1 - \frac{C}{C_0}\right)

Di mana:

  • tt = waktu pengisian (dalam menit)
  • kk = konstanta pengisian
  • CC = kapasitas yang diinginkan
  • C0C_0 = kapasitas maksimum

Contoh: Tentukan waktu yang diperlukan untuk mengisi daya baterai yang dayanya kosong menjadi 90% penuh. Anggap k=0,02k = 0,02.

Penyelesaian:

t=−1kln⁡(1−CC0)t = -\frac{1}{k}\ln\left(1 - \frac{C}{C_0}\right)
=−10,02ln⁡(1−0,9C0C0)= -\frac{1}{0,02}\ln\left(1 - \frac{0,9C_0}{C_0}\right)
=−50ln⁡(1−0,9)= -50\ln(1 - 0,9)
=−50ln⁡(0,1)= -50\ln(0,1)
≈115,13\approx 115,13

Jadi, waktu pengisian daya tersebut ialah sekitar 115 menit.

Depresiasi Harga Mobil

Fungsi logaritma juga digunakan untuk pemodelan peluruhan/penurunan nilai dengan formula:

H(t)=cektH(t) = ce^{kt}

dengan H(t)H(t) adalah nilai pada saat waktu tt.

Contoh: Pada setiap saat, harga sebuah mobil setelah digunakan tidak sebanding dengan harga saat itu. Jika harga mobil baru adalah 200 juta rupiah dan setelah 5 tahun menjadi 100 juta rupiah, tentukan harga mobil setelah 10 tahun digunakan.

Penyelesaian:

H(0)=200 juta, maka 200=ce0=cH(0) = 200 \text{ juta, maka } 200 = ce^0 = c
H(5)=100 juta, maka 100=200e5kH(5) = 100 \text{ juta, maka } 100 = 200e^{5k}
e5k=12, sehingga 5k=ln⁡(12)e^{5k} = \frac{1}{2} \text{, sehingga } 5k = \ln\left(\frac{1}{2}\right)
k=15ln⁡(12)=−0,1386k = \frac{1}{5}\ln\left(\frac{1}{2}\right) = -0,1386

Dari hasil tersebut, diperoleh harga mobil setiap saat tt adalah:

H(t)=200e−0,1386tH(t) = 200e^{-0,1386t}

Jadi, harga mobil setelah 10 tahun digunakan adalah:

H(10)=200e−0,1386(10)=200e−1,386≈50 juta rupiahH(10) = 200e^{-0,1386(10)} = 200e^{-1,386} \approx 50 \text{ juta rupiah}

Latihan

Soal 1

Sederhanakan: 5log⁡125+5log⁡25−5log⁡5^5\log 125 + {^5\log 25} - {^5\log 5}

Soal 2

Jika 2log⁡x=3^2\log x = 3 dan 2log⁡y=5^2\log y = 5, tentukan nilai 2log⁡(xy)^2\log(xy)

Soal 3

Tentukan nilai xx jika 4log⁡(x−1)=4log⁡16−4log⁡2^4\log(x-1) = {^4\log 16} - {^4\log 2}

Kunci Jawaban

Jawaban 1

5log⁡125+5log⁡25−5log⁡5^5\log 125 + {^5\log 25} - {^5\log 5}
=3+2−1=4= 3 + 2 - 1 = 4

Jawaban 2

2log⁡(xy)=2log⁡x+2log⁡y^2\log(xy) = {^2\log x} + {^2\log y}
=3+5=8= 3 + 5 = 8

Jawaban 3

4log⁡(x−1)=4log⁡16−4log⁡2^4\log(x-1) = {^4\log 16} - {^4\log 2}
4log⁡(x−1)=4log⁡(162)^4\log(x-1) = {^4\log\left(\frac{16}{2}\right)}
4log⁡(x−1)=4log⁡8^4\log(x-1) = {^4\log 8}
x−1=8x - 1 = 8
x=9x = 9
Sebelumnya

Grafik Fungsi Logaritma

Selanjutnya

Fungsi Rasional