Fungsi Akar

Pengertian Fungsi Akar

Fungsi akar merupakan salah satu jenis fungsi yang melibatkan operasi akar kuadrat. Fungsi ini memiliki bentuk umum $f(x) = \sqrt{g(x)}$ di mana $g(x)$ adalah fungsi di dalam tanda akar.

Bentuk paling sederhana dari fungsi akar adalah $f(x) = \sqrt{x}$ . Fungsi ini mengambil nilai input $x$ dan menghasilkan akar kuadrat dari nilai tersebut.

Karakteristik Fungsi Akar

Fungsi akar memiliki beberapa karakteristik khusus yang membedakannya dari fungsi lainnya:

Domain terbatas: Karena akar kuadrat dari bilangan negatif tidak terdefinisi dalam bilangan real, domain fungsi akar terbatas pada nilai-nilai yang membuat ekspresi di dalam akar bernilai non-negatif.
Grafik berbentuk kurva: Grafik fungsi akar berbentuk kurva yang dimulai dari suatu titik dan terus naik dengan kecepatan yang semakin lambat.
Nilai selalu non-negatif: Hasil dari fungsi akar selalu bernilai non-negatif (≥ 0).

Domain dan Range Fungsi Akar

Untuk memahami fungsi akar dengan baik, penting untuk menentukan domain dan range-nya.

Menentukan Domain

Domain fungsi akar $f(x) = \sqrt{g(x)}$ adalah semua nilai $x$ yang membuat $g(x) \geq 0$ .

Langkah-langkah menentukan domain:

Langkah	Penjelasan	Contoh: $f(x) = \sqrt{x-2}$
1	Identifikasi ekspresi dalam akar	$g(x) = x-2$
2	Buat pertidaksamaan $g(x) \geq 0$	$x-2 \geq 0$
3	Selesaikan pertidaksamaan	$x \geq 2$
4	Tuliskan domain	$D_f = \{x \mid x \geq 2, x \in \mathbb{R}\}$

Menentukan Range

Range fungsi akar adalah semua nilai output yang mungkin dihasilkan oleh fungsi tersebut.

Untuk fungsi $f(x) = \sqrt{x-2}$ , karena akar kuadrat selalu menghasilkan nilai non-negatif, maka:

R_f = \{y \mid y \geq 0, y \in \mathbb{R}\}

Grafik Fungsi Akar Dasar

Mari kita visualisasikan fungsi akar dasar $f(x) = \sqrt{x}$ .

Fungsi Akar Dasar:

f(x) = \sqrt{x}

Grafik fungsi akar dasar dimulai dari titik (0,0) dan naik dengan kecepatan yang semakin lambat.

Transformasi Fungsi Akar

Fungsi akar dapat mengalami berbagai transformasi yang mengubah bentuk dan posisi grafiknya.

Translasi Horizontal

Fungsi $f(x) = \sqrt{x-h}$ menggeser grafik fungsi akar dasar sejauh $h$ satuan ke kanan (jika $h > 0$ ) atau ke kiri (jika $h < 0$ ).

Translasi Horizontal Fungsi Akar

Perbandingan

f(x) = \sqrt{x}

g(x) = \sqrt{x-2}

, dan

h(x) = \sqrt{x+2}

Translasi Vertikal

Fungsi $f(x) = \sqrt{x} + k$ menggeser grafik fungsi akar dasar sejauh $k$ satuan ke atas (jika $k > 0$ ) atau ke bawah (jika $k < 0$ ).

Fungsi	Transformasi	Domain	Range
$f(x) = \sqrt{x}$	Fungsi dasar	$x \geq 0$	$y \geq 0$
$f(x) = \sqrt{x} + 2$	Geser 2 satuan ke atas	$x \geq 0$	$y \geq 2$
$f(x) = \sqrt{x} - 3$	Geser 3 satuan ke bawah	$x \geq 0$	$y \geq -3$

Dilatasi

Fungsi $f(x) = a\sqrt{x}$ dengan $a > 0$ menyebabkan dilatasi vertikal pada grafik fungsi akar.

Dilatasi Vertikal Fungsi Akar

Perbandingan

f(x) = \sqrt{x}

g(x) = 2\sqrt{x}

, dan

h(x) = \frac{1}{2}\sqrt{x}

Fungsi Akar Bentuk Umum

Bentuk umum fungsi akar yang mengalami transformasi adalah:

f(x) = a\sqrt{b(x-h)} + k

Di mana:

$a$ menentukan dilatasi vertikal dan refleksi (jika $a < 0$ )
$b$ menentukan dilatasi horizontal
$h$ menentukan translasi horizontal
$k$ menentukan translasi vertikal

Langkah-langkah menggambar grafik:

Langkah	Tindakan	Contoh: $f(x) = 2\sqrt{x-1} + 3$
1	Tentukan titik awal	$x-1 = 0 \Rightarrow x = 1$ , $f(1) = 3$ , Titik: (1, 3)
2	Tentukan domain	$x-1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1$
3	Buat tabel nilai	Pilih beberapa nilai $x \geq 1$
4	Hitung nilai fungsi	Untuk $x = 2$ : $f(2) = 2\sqrt{1} + 3 = 5$
5	Plot titik-titik	Plot (1,3), (2,5), (5,7), dst.
6	Hubungkan titik	Buat kurva mulus melalui titik-titik

Persamaan Fungsi Akar

Untuk menyelesaikan persamaan yang melibatkan fungsi akar, ikuti langkah-langkah berikut:

Langkah	Penjelasan	Contoh: $\sqrt{2x+3} = 5$
1	Isolasi akar	Sudah terisolasi
2	Kuadratkan kedua ruas	$(\sqrt{2x+3})^2 = 5^2$
3	Sederhanakan	$2x+3 = 25$
4	Selesaikan	$2x = 22 \Rightarrow x = 11$
5	Verifikasi	$\sqrt{2(11)+3} = \sqrt{25} = 5$ ✓

Pertidaksamaan Fungsi Akar

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan fungsi akar, perhatikan domain dan sifat fungsi akar.

Contoh: Selesaikan $\sqrt{x-1} < 3$

\text{Syarat: } x-1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1

\sqrt{x-1} < 3

x-1 < 9

x < 10

Dengan menggabungkan syarat domain: $1 \leq x < 10$

Latihan Soal

Tentukan domain dan range dari fungsi $f(x) = \sqrt{3x-6}$
Gambarkan grafik fungsi $g(x) = -\sqrt{x+4} + 2$
Selesaikan persamaan $\sqrt{x+5} + \sqrt{x} = 5$
Sebuah roket diluncurkan vertikal. Ketinggiannya setelah $t$ detik diberikan oleh $h(t) = 100\sqrt{t}$ meter. Berapa ketinggian roket setelah 9 detik?
Tentukan nilai $x$ yang memenuhi $2\sqrt{x-3} \geq 6$

Kunci Jawaban

Domain: $D_f = \{x \mid x \geq 2, x \in \mathbb{R}\}$

Range: $R_f = \{y \mid y \geq 0, y \in \mathbb{R}\}$

Menggambar grafik $g(x) = -\sqrt{x+4} + 2$

Langkah-langkah menggambar:

Langkah	Penjelasan	Detail untuk $g(x) = -\sqrt{x+4} + 2$
1	Identifikasi transformasi	$a = -1$ (refleksi terhadap sumbu x), $h = -4$ (geser 4 satuan ke kiri), $k = 2$ (geser 2 satuan ke atas)
2	Tentukan titik awal	$x+4 = 0 \Rightarrow x = -4$ , $g(-4) = 0 + 2 = 2$ , Titik awal: (-4, 2)
3	Tentukan domain	$x+4 \geq 0 \Rightarrow x \geq -4$
4	Tentukan range	Karena $a = -1 < 0$ , grafik turun dari titik awal, sehingga $y \leq 2$
5	Buat tabel nilai	Pilih nilai $x \geq -4$

Tabel nilai:

$x$	$x+4$	$\sqrt{x+4}$	$-\sqrt{x+4}$	$g(x) = -\sqrt{x+4} + 2$
-4	0	0	0	2
-3	1	1	-1	1
0	4	2	-2	0
5	9	3	-3	-1
12	16	4	-4	-2

Grafik

g(x) = -\sqrt{x+4} + 2

Grafik fungsi akar yang mengalami refleksi terhadap sumbu x dan translasi.

$x = 4$ (Misalkan $u = \sqrt{x}$ dan $v = \sqrt{x+5}$ )
$h(9) = 100\sqrt{9} = 100 \times 3 = 300$ meter
$x \geq 12$ (dari $\sqrt{x-3} \geq 3$ dan syarat $x \geq 3$ )

Command Palette