Fungsi Eksponensial

Pengertian Fungsi Eksponensial

Fungsi eksponensial adalah fungsi matematika yang memiliki variabel sebagai pangkat dari suatu bilangan konstan. Bentuk umum fungsi eksponensial adalah $f(x) = a \cdot b^x$ dengan $a \neq 0$ , $b > 0$ , dan $b \neq 1$ .

Komponen fungsi eksponensial:

Dalam fungsi $f(x) = a \cdot b^x$ :

$a$ adalah konstanta pengali yang menentukan nilai awal fungsi
$b$ adalah basis eksponensial yang menentukan laju pertumbuhan atau peluruhan
$x$ adalah variabel bebas (eksponen)

Karakteristik Fungsi Eksponensial

Fungsi eksponensial memiliki beberapa sifat khusus yang membedakannya dari fungsi lain:

Sifat-sifat Dasar

f(0) = a \cdot b^0 = a \cdot 1 = a

f(x_1 + x_2) = a \cdot b^{x_1 + x_2} = a \cdot b^{x_1} \cdot b^{x_2}

f(x_1 - x_2) = a \cdot b^{x_1 - x_2} = \frac{a \cdot b^{x_1}}{b^{x_2}}

Jenis Fungsi Eksponensial

Fungsi Pertumbuhan Eksponensial ( $b > 1$ ):

Nilai fungsi meningkat seiring bertambahnya $x$
Grafik naik dari kiri ke kanan
Contoh: $f(x) = 2^x$

Fungsi Peluruhan Eksponensial ( $0 < b < 1$ ):

Nilai fungsi menurun seiring bertambahnya $x$
Grafik turun dari kiri ke kanan
Contoh: $f(x) = (0.5)^x$

Grafik Fungsi Eksponensial

Berikut adalah visualisasi berbagai fungsi eksponensial:

Perbandingan Fungsi Eksponensial

Grafik menunjukkan fungsi pertumbuhan

f(x) = 2^x

dan peluruhan

g(x) = (0.5)^x

Perbandingan nilai fungsi $f(x) = 2^x$ dan $g(x) = (0.5)^x$ :

x	-2	-1	0	1	2	3
$f(x) = 2^x$	0.25	0.5	1	2	4	8
$g(x) = (0.5)^x$	4	2	1	0.5	0.25	0.125

Transformasi Fungsi Eksponensial

Fungsi eksponensial dapat ditransformasi dengan berbagai cara:

Translasi Vertikal

Fungsi $f(x) = a \cdot b^x + c$ menggeser grafik ke atas (jika $c > 0$ ) atau ke bawah (jika $c < 0$ ).

Translasi Vertikal

Perbandingan

f(x) = 2^x

dengan

g(x) = 2^x + 2

Translasi Horizontal

Fungsi $f(x) = a \cdot b^{x-h}$ menggeser grafik ke kanan (jika $h > 0$ ) atau ke kiri (jika $h < 0$ ).

Aplikasi Fungsi Eksponensial

Fungsi eksponensial banyak digunakan dalam kehidupan sehari-hari:

Pertumbuhan Populasi

Populasi makhluk hidup sering mengikuti pola pertumbuhan eksponensial. Jika populasi awal adalah $P_0$ dan laju pertumbuhan adalah $r$ per periode waktu, maka:

P(t) = P_0 \cdot (1 + r)^t

Contoh: Populasi bakteri yang berkembang biak setiap jam dengan laju 20%:

Populasi awal: 1000 bakteri
Laju pertumbuhan: $r = 0.2$
Fungsi: $P(t) = 1000 \cdot (1.2)^t$

Tabel Pertumbuhan Bakteri

Waktu (jam)	0	1	2	3	4	5
Populasi	1000	1200	1440	1728	2074	2488

Peluruhan Radioaktif

Zat radioaktif meluruh mengikuti fungsi eksponensial. Jika massa awal adalah $M_0$ dan waktu paruh adalah $t_{1/2}$ , maka:

M(t) = M_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/t_{1/2}}

Bunga Majemuk

Investasi dengan bunga majemuk tumbuh secara eksponensial. Jika modal awal $P$ , suku bunga $r$ per tahun, dan waktu $t$ tahun:

A = P \cdot \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}

dengan $n$ adalah frekuensi penggabungan bunga per tahun.

Persamaan Eksponensial

Persamaan eksponensial adalah persamaan yang memuat variabel pada eksponen. Bentuk umum:

b^x = c

Metode 1: Menyamakan Basis

Jika $b^{f(x)} = b^{g(x)}$ , maka $f(x) = g(x)$

Contoh: Selesaikan $2^{x+1} = 8$

2^{x+1} = 8

2^{x+1} = 2^3

x + 1 = 3

x = 2

Metode 2: Menggunakan Logaritma

Untuk menyelesaikan $b^x = c$ , gunakan logaritma:

x = \log_b c = \frac{\log c}{\log b}

Latihan

Tentukan nilai dari $f(3)$ jika $f(x) = 5 \cdot 2^x$
Selesaikan persamaan $3^{2x-1} = 27$
Populasi suatu kota adalah 50.000 jiwa dan tumbuh 3% per tahun. Berapa populasinya setelah 10 tahun?
Suatu zat radioaktif memiliki waktu paruh 5 tahun. Jika massa awalnya 100 gram, berapa massa yang tersisa setelah 15 tahun?

Kunci Jawaban

$f(3) = 5 \cdot 2^3 = 5 \cdot 8 = 40$
$3^{2x-1} = 27 = 3^3$ , maka $2x - 1 = 3$ , sehingga $x = 2$
$P(10) = 50000 \cdot (1.03)^{10} = 50000 \cdot 1.344 = 67.195$ jiwa
$M(15) = 100 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{15/5} = 100 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 100 \cdot \frac{1}{8} = 12.5$ gram

Command Palette