Matriks Transpos

Apa Itu Matriks Transpos?

Matriks transpos adalah sebuah matriks baru yang diperoleh dengan cara menukar elemen-elemen baris menjadi elemen-elemen kolom, dan sebaliknya, elemen-elemen kolom menjadi elemen-elemen baris dari matriks asalnya.

Jika kita memiliki matriks $A$, maka transpos dari matriks $A$ biasanya dinotasikan dengan $A^T$ atau $A'$.

Secara formal, jika matriks $A$ memiliki ordo $m \times n$ dengan elemen $a_{ij}$ (elemen pada baris ke-$i$ dan kolom ke-$j$), maka matriks transposnya, $A^T$, akan memiliki ordo $n \times m$ dengan elemen $a_{ji}^T = a_{ij}$.

Artinya, elemen pada baris ke-$j$ dan kolom ke-$i$ dari $A^T$ adalah sama dengan elemen pada baris ke-$i$ dan kolom ke-$j$ dari $A$.

Cara Menentukan Matriks Transpos

Untuk mendapatkan matriks transpos, ikuti langkah berikut:

1. Tuliskan baris pertama dari matriks asli sebagai kolom pertama dari matriks transpos.
2. Tuliskan baris kedua dari matriks asli sebagai kolom kedua dari matriks transpos.
3. Lanjutkan proses ini untuk semua baris pada matriks asli.

Matriks Umum

Misalkan kita memiliki matriks $A$:

Maka, transpos dari matriks $A$ adalah:

Perhatikan bagaimana baris pertama $\begin{bmatrix} a & b \end{bmatrix}$ menjadi kolom pertama $\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}$, dan baris kedua $\begin{bmatrix} c & d \end{bmatrix}$ menjadi kolom kedua $\begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix}$.

Matriks dengan Ordo Berbeda

Diberikan matriks $B$ dengan ordo $2 \times 3$:

Transpos dari matriks $B$, yaitu $B^T$, akan berordo $3 \times 2$:

• Baris pertama $B$ ($\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}$) menjadi kolom pertama $B^T$.
• Baris kedua $B$ ($\begin{bmatrix} 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$) menjadi kolom kedua $B^T$.

Matriks Kolom menjadi Matriks Baris

Jika $C$ adalah matriks kolom:

Maka transposnya, $C^T$, adalah matriks baris:

Transpos dari Matriks Persegi

Diberikan matriks persegi $D$:

Maka transposnya, $D^T$, juga merupakan matriks persegi:

Sifat-Sifat Matriks Transpos

Beberapa sifat penting dari matriks transpos adalah:

1. $(A^T)^T = A$ (Transpos dari matriks transpos adalah matriks itu sendiri)
2. $(A + B)^T = A^T + B^T$ (Transpos dari penjumlahan dua matriks)
3. $(A - B)^T = A^T - B^T$ (Transpos dari pengurangan dua matriks)
4. $(kA)^T = kA^T$, dengan $k$ adalah skalar
5. $(AB)^T = B^T A^T$ (Transpos dari perkalian dua matriks, perhatikan urutannya terbalik)

Latihan

Tentukan transpos dari matriks-matriks berikut dan sebutkan jenis matriks hasilnya (misalnya, matriks baris, matriks kolom, matriks persegi).

1. $A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & -5 \end{bmatrix}$
2. $B = \begin{bmatrix} 9 & -1 \\ 3 & 0 \\ 1 & 5 \end{bmatrix}$
3. $C = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 1 & 6 & -2 \\ 4 & 5 & -7 \end{bmatrix}$

Kunci Jawaban

1. $A^T = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ -5 \end{bmatrix}$

   $A^T$ adalah matriks kolom.

2. $B^T = \begin{bmatrix} 9 & 3 & 1 \\ -1 & 0 & 5 \end{bmatrix}$

   $B^T$ adalah matriks persegi panjang (matriks datar).

3. $C^T = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 4 \\ 3 & 6 & 5 \\ 1 & -2 & -7 \end{bmatrix}$

   $C^T$ adalah matriks persegi.