Kesamaan Dua Matriks

Definisi Kesamaan Dua Matriks

Dalam dunia matriks, kita seringkali perlu membandingkan dua matriks atau lebih. Salah satu konsep penting dalam perbandingan ini adalah kesamaan dua matriks. Dua matriks dikatakan sama jika memenuhi syarat-syarat tertentu.

Dua matriks, katakanlah matriks $A$ dan matriks $B$, dikatakan sama (ditulis $A=B$) jika dan hanya jika kedua syarat berikut terpenuhi:

1. Ordo Sama: Matriks $A$ dan matriks $B$ harus memiliki ordo (jumlah baris dan kolom) yang sama. Jika matriks $A$ berordo $m \times n$, maka matriks $B$ juga harus berordo $m \times n$.
2. Elemen Seletak Sama: Setiap elemen yang seletak (berada pada posisi baris dan kolom yang sama) pada matriks $A$ dan matriks $B$ harus memiliki nilai yang sama. Jika $A = [a_{ij}]$ dan $B = [b_{ij}]$, maka $a_{ij} = b_{ij}$ untuk semua nilai $i$ (indeks baris) dan $j$ (indeks kolom).

Jika salah satu dari kedua syarat di atas tidak terpenuhi, maka matriks $A$ tidak sama dengan matriks $B$ (ditulis $A \neq B$).

Contoh Kesamaan Dua Matriks

Matriks yang Sama

Diberikan dua matriks:

Matriks $P$ dan $Q$ adalah sama ($P=Q$) karena:

• Keduanya berordo $2 \times 2$.

• Elemen-elemen yang seletak bernilai sama:

  $p_{11} = q_{11} = 1$, $p_{12} = q_{12} = 2$ , $p_{21} = q_{21} = 3$, $p_{22} = q_{22} = 4$ .

Matriks yang Tidak Sama (Beda Ordo)

Diberikan dua matriks:

Matriks $R$ tidak sama dengan matriks $C$ ($R \neq C$) karena ordo matriks $R$ adalah $2 \times 2$, sedangkan ordo matriks $C$ adalah $3 \times 2$.

Matriks yang Tidak Sama (Elemen Seletak Berbeda)

Diberikan dua matriks:

Meskipun matriks $S$ dan $T$ berordo sama($2 \times 2$), keduanya tidak sama ($S \neq T$) karena elemen pada baris ke-2 kolom ke-1 tidak sama ($s_{21} = -2$ sedangkan $t_{21} = 2$).

Menentukan Nilai Variabel dari Kesamaan Matriks

Diketahui matriks $A = \begin{bmatrix} -x & 2 \\ -3y & z^2 \end{bmatrix}$ dan $B = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 6 & 9 \end{bmatrix}$.

Jika matriks $A$ sama dengan matriks $B$ ($A=B$), tentukan nilai $x$, $y$, dan $z$.

Penyelesaian:

Karena $A=B$, maka elemen-elemen yang seletak harus sama:

1. $a_{11} = b_{11} \implies -x = -1 \implies x = 1$
2. $a_{12} = b_{12} \implies 2 = 2$ (sudah sama)
3. $a_{21} = b_{21} \implies -3y = 6 \implies y = \frac{6}{-3} \implies y = -2$
4. $a_{22} = b_{22} \implies z^2 = 9 \implies z = \pm\sqrt{9} \implies z = 3 \text{ atau } z = -3$

Jadi, nilai $x=1$, $y=-2$, dan $z = \pm 3$.

Latihan

Jawablah pertanyaan berikut dengan Benar atau Salah.

1. Dua matriks yang mempunyai ordo yang sama merupakan salah satu syarat agar kedua matriks tersebut sama.

2. Dua matriks yang berbeda selalu memiliki ordo yang berbeda.

3. Jika diketahui matriks $K = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$ dan matriks $L = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$, maka matriks $K$ sama dengan matriks $L$.

4. Diketahui matriks $P = \begin{bmatrix} 2x & 4 \\ -1 & y+3 \end{bmatrix}$ dan $Q = \begin{bmatrix} -10 & 4 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$. Jika $P=Q$, tentukan nilai $x$ dan $y$.

5. Jika matriks $A = \begin{bmatrix} -x-3y & 0 \\ (x-2y)^2 & 1 \end{bmatrix}$ dan $I$ adalah matriks identitas berordo $2 \times 2$. Jika $A = I$, tentukan nilai $x+y$.

6. Hitunglah nilai $a+b+c+d$ yang memenuhi kesamaan matriks berikut:

   $$\begin{bmatrix} a+2b & 2a+b \\ c+d & 2c+d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -3 \\ 7 & 1 \end{bmatrix}$$

Kunci Jawaban

1. Benar. Memiliki ordo yang sama adalah syarat pertama kesamaan dua matriks.

2. Salah. Dua matriks yang berbeda bisa saja memiliki ordo yang sama, tetapi elemen seletaknya berbeda (lihat Contoh 3).

3. Salah. Matriks $K$ berordo $2 \times 2$ sedangkan matriks $L$ berordo $3 \times 2$. Karena ordonya berbeda, kedua matriks tidak sama.

4. Diketahui $P=Q$:

   $$\begin{bmatrix} 2x & 4 \\ -1 & y+3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -10 & 4 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$$

   Dari kesamaan elemen seletak:

   • $2x = -10 \implies x = -5$
   • $y+3 = 2 \implies y = 2-3 \implies y = -1$

     Jadi, $x=-5$ dan $y=-1$.

5. Matriks identitas $I$ berordo $2 \times 2$ adalah $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.

   Diketahui $A=I$:

   $$\begin{bmatrix} -x-3y & 0 \\ (x-2y)^2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

   Dari kesamaan elemen seletak, kita peroleh sistem persamaan:

   1. $-x-3y = 1$ (Persamaan 1)
   2. $(x-2y)^2 = 0$ (Persamaan 2)

   Selesaikan Persamaan 2 terlebih dahulu:

   $$(x-2y)^2 = 0$$

   $$x-2y = \sqrt{0}$$

   $$x-2y = 0$$

   $$x = 2y \quad \text{(Persamaan 2')}$$

   Substitusikan Persamaan 2' ke Persamaan 1:

   $$-(2y)-3y = 1$$

   $$-2y-3y = 1$$

   $$-5y = 1$$

   $$y = -\frac{1}{5}$$

   Substitusikan nilai $y = -\frac{1}{5}$ ke Persamaan 2':

   $$x = 2\left(-\frac{1}{5}\right)$$

   $$x = -\frac{2}{5}$$

   Maka, nilai $x+y$ adalah:

   $$x+y = \left(-\frac{2}{5}\right) + \left(-\frac{1}{5}\right)$$

   $$= -\frac{2}{5} - \frac{1}{5}$$

   $$= \frac{-2-1}{5}$$

   $$= -\frac{3}{5}$$

6. Diketahui kesamaan matriks:

   $$\begin{bmatrix} a+2b & 2a+b \\ c+d & 2c+d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -3 \\ 7 & 1 \end{bmatrix}$$

   Dari kesamaan elemen seletak, kita peroleh sistem persamaan:

   1. $a+2b = 3$
   2. $2a+b = -3$
   3. $c+d = 7$
   4. $2c+d = 1$

   Selesaikan sistem persamaan untuk $a$ dan $b$ (persamaan 1 dan 2):

   Persamaan awal:

   $$a+2b = 3 \quad \text{(1)}$$

   $$2a+b = -3 \quad \text{(2)}$$

   Untuk mengeliminasi $b$, kalikan persamaan (2) dengan 2:

   $$2(2a+b) = 2(-3)$$

   $$4a+2b = -6 \quad \text{(2')}$$

   Kurangkan persamaan (1) dari persamaan (2'):

   $$(4a+2b) - (a+2b) = -6 - 3$$

   $$4a - a + 2b - 2b = -9$$

   $$3a = -9$$

   $$a = \frac{-9}{3}$$

   $$a = -3$$

   Substitusikan nilai $a=-3$ ke persamaan (1):

   $$-3+2b=3$$

   $$2b=3+3$$

   $$2b=6$$

   $$b = \frac{6}{2}$$

   $$b = 3$$

   Selesaikan sistem persamaan untuk $c$ dan $d$ (persamaan 3 dan 4):

   Persamaan awal:

   $$c+d = 7 \quad \text{(3)}$$

   $$2c+d = 1 \quad \text{(4)}$$

   Kurangkan persamaan (3) dari persamaan (4) untuk mengeliminasi $d$:

   $$(2c+d) - (c+d) = 1 - 7$$

   $$2c - c + d - d = -6$$

   $$c = -6$$

   Substitusikan nilai $c=-6$ ke persamaan (3):

   $$-6+d=7$$

   $$d=7+6$$

   $$d=13$$

   Maka, nilai $a+b+c+d$ adalah:

   $$a+b+c+d = (-3) + 3 + (-6) + 13$$

   $$= 0 - 6 + 13$$

   $$= 7$$