Sifat Determinan Matriks: Matriks - Matematika (Kelas 11)

Menemukan Sifat Determinan Matriks

Misalkan kita memiliki dua matriks, $A$ dan $B$ , sebagai berikut:

A = \begin{bmatrix} -5 & 2 \\ 1 & -3 \end{bmatrix}

Determinan dari Perkalian Dua Matriks

Kita selidiki hubungan antara determinan dari perkalian dua matriks ( $|AB|$ ) dengan perkalian dari masing-masing determinannya ( $|A||B|$ ).

Langkah 1: Hitung Determinan Matriks $A$ ( $|A|$ )

Determinan dari matriks $A$ adalah:

|A| = (-5 \cdot -3) - (2 \cdot 1) = 15 - 2 = 13

Langkah 2: Hitung Determinan Matriks $B$ ( $|B|$ )

Determinan dari matriks $B$ adalah:

|B| = (9 \cdot -1) - (-4 \cdot 1) = -9 - (-4) = -9 + 4 = -5

Langkah 3: Tentukan Hasil Perkalian Matriks $A$ dan $B$ ( $AB$ )

Matriks $AB$ diperoleh dengan mengalikan matriks $A$ dan $B$ :

AB = \begin{bmatrix} -5 & 2 \\ 1 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 9 & -4 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}

Langkah 4: Hitung Determinan Matriks $AB$ ( $|AB|$ )

Sekarang, kita hitung determinan dari matriks hasil perkalian AB:

|AB| = (-43 \cdot -1) - (18 \cdot 6) = 43 - 108 = -65

Langkah 5: Bandingkan $|AB|$ dengan $|A||B|$

Kita telah mendapatkan $|A| = 13$ , $|B| = -5$ , dan $|AB| = -65$ .

Mari kita hitung $|A||B|$ :

|A||B| = 13 \cdot (-5) = -65

Perhatikan bahwa nilai $|AB|$ sama dengan nilai $|A||B|$ .

Rumusan Sifat Determinan Perkalian Matriks

Jika $A$ dan $B$ adalah dua matriks persegi berordo sama, maka determinan dari hasil kali matriks $A$ dan $B$ sama dengan hasil kali determinan masing-masing matriks.

|AB| = |A||B|

Determinan Matriks dengan Perkalian Skalar

Sekarang, mari kita selidiki apa yang terjadi pada determinan sebuah matriks jika setiap elemen matriks tersebut dikalikan dengan sebuah skalar (konstanta).

Misalkan kita gunakan matriks $A$ dari contoh sebelumnya dan sebuah skalar $k=2$ .

A = \begin{bmatrix} -5 & 2 \\ 1 & -3 \end{bmatrix}

Kita sudah tahu bahwa $|A| = 13$ . Matriks $A$ adalah matriks berordo $2 \times 2$ , sehingga $n=2$ .

Langkah 1: Tentukan Matriks $kA$

Kalikan setiap elemen matriks $A$ dengan skalar $k=2$ :

kA = 2A = 2\begin{bmatrix} -5 & 2 \\ 1 & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2(-5) & 2(2) \\ 2(1) & 2(-3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -10 & 4 \\ 2 & -6 \end{bmatrix}

Langkah 2: Hitung Determinan Matriks $kA$ ( $|kA|$ )

Determinan dari matriks $kA$ adalah:

|kA| = (-10 \cdot -6) - (4 \cdot 2) = 60 - 8 = 52

Langkah 3: Bandingkan $|kA|$ dengan $k^n|A|$

Kita memiliki $|kA| = 52$ . Skalar $k=2$ , ordo matriks $n=2$ , dan $|A|=13$ .

Mari kita hitung $k^n|A|$ :

k^n|A| = 2^2 \cdot 13 = 4 \cdot 13 = 52

Perhatikan bahwa nilai $|kA|$ sama dengan nilai $k^n|A|$ .

Rumusan Sifat Determinan Perkalian Skalar

Jika $A$ adalah matriks persegi berordo $n \times n$ dan $k$ adalah suatu skalar, maka determinan dari matriks $kA$ adalah $k^n$ dikalikan dengan determinan matriks $A$ .

|kA| = k^n |A|

Di sini, $n$ adalah ordo (jumlah baris atau kolom) dari matriks persegi $A$ .

Menemukan Sifat Determinan Matriks

Misalkan kita memiliki dua matriks, $A$ dan $B$ , sebagai berikut:

A = \begin{bmatrix} -5 & 2 \\ 1 & -3 \end{bmatrix}

Determinan dari Perkalian Dua Matriks

Kita selidiki hubungan antara determinan dari perkalian dua matriks ( $|AB|$ ) dengan perkalian dari masing-masing determinannya ( $|A||B|$ ).

Langkah 1: Hitung Determinan Matriks $A$ ( $|A|$ )

Determinan dari matriks $A$ adalah:

|A| = (-5 \cdot -3) - (2 \cdot 1) = 15 - 2 = 13

Langkah 2: Hitung Determinan Matriks $B$ ( $|B|$ )

Determinan dari matriks $B$ adalah:

|B| = (9 \cdot -1) - (-4 \cdot 1) = -9 - (-4) = -9 + 4 = -5

Langkah 3: Tentukan Hasil Perkalian Matriks $A$ dan $B$ ( $AB$ )

Matriks $AB$ diperoleh dengan mengalikan matriks $A$ dan $B$ :

AB = \begin{bmatrix} -5 & 2 \\ 1 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 9 & -4 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}

Langkah 4: Hitung Determinan Matriks $AB$ ( $|AB|$ )

Sekarang, kita hitung determinan dari matriks hasil perkalian AB:

|AB| = (-43 \cdot -1) - (18 \cdot 6) = 43 - 108 = -65

Langkah 5: Bandingkan $|AB|$ dengan $|A||B|$

Kita telah mendapatkan $|A| = 13$ , $|B| = -5$ , dan $|AB| = -65$ .

Mari kita hitung $|A||B|$ :

|A||B| = 13 \cdot (-5) = -65

Perhatikan bahwa nilai $|AB|$ sama dengan nilai $|A||B|$ .

Rumusan Sifat Determinan Perkalian Matriks

Jika $A$ dan $B$ adalah dua matriks persegi berordo sama, maka determinan dari hasil kali matriks $A$ dan $B$ sama dengan hasil kali determinan masing-masing matriks.

|AB| = |A||B|

Determinan Matriks dengan Perkalian Skalar

Sekarang, mari kita selidiki apa yang terjadi pada determinan sebuah matriks jika setiap elemen matriks tersebut dikalikan dengan sebuah skalar (konstanta).

Misalkan kita gunakan matriks $A$ dari contoh sebelumnya dan sebuah skalar $k=2$ .

A = \begin{bmatrix} -5 & 2 \\ 1 & -3 \end{bmatrix}

Kita sudah tahu bahwa $|A| = 13$ . Matriks $A$ adalah matriks berordo $2 \times 2$ , sehingga $n=2$ .

Langkah 1: Tentukan Matriks $kA$

Kalikan setiap elemen matriks $A$ dengan skalar $k=2$ :

kA = 2A = 2\begin{bmatrix} -5 & 2 \\ 1 & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2(-5) & 2(2) \\ 2(1) & 2(-3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -10 & 4 \\ 2 & -6 \end{bmatrix}

Langkah 2: Hitung Determinan Matriks $kA$ ( $|kA|$ )

Determinan dari matriks $kA$ adalah:

|kA| = (-10 \cdot -6) - (4 \cdot 2) = 60 - 8 = 52

Langkah 3: Bandingkan $|kA|$ dengan $k^n|A|$

Kita memiliki $|kA| = 52$ . Skalar $k=2$ , ordo matriks $n=2$ , dan $|A|=13$ .

Mari kita hitung $k^n|A|$ :

k^n|A| = 2^2 \cdot 13 = 4 \cdot 13 = 52

Perhatikan bahwa nilai $|kA|$ sama dengan nilai $k^n|A|$ .

Rumusan Sifat Determinan Perkalian Skalar

Jika $A$ adalah matriks persegi berordo $n \times n$ dan $k$ adalah suatu skalar, maka determinan dari matriks $kA$ adalah $k^n$ dikalikan dengan determinan matriks $A$ .

|kA| = k^n |A|

Di sini, $n$ adalah ordo (jumlah baris atau kolom) dari matriks persegi $A$ .

Command Palette

Menemukan Sifat Determinan Matriks

Determinan dari Perkalian Dua Matriks

Determinan Matriks dengan Perkalian Skalar

Command Palette

Menemukan Sifat Determinan Matriks

Determinan dari Perkalian Dua Matriks

Determinan Matriks dengan Perkalian Skalar