Metode Ekspansi Kofaktor

Apa itu Ekspansi Kofaktor?

Metode ekspansi kofaktor adalah salah satu cara untuk menghitung nilai determinan dari sebuah matriks persegi, terutama untuk matriks yang ukurannya lebih besar dari $2 \times 2$.

Metode ini bekerja dengan cara menguraikan perhitungan determinan matriks besar menjadi penjumlahan dari perkalian elemen-elemen matriks dengan kofaktornya masing-masing, yang melibatkan determinan dari matriks-matriks yang lebih kecil.

Minor Elemen Matriks

Setiap elemen dalam sebuah matriks persegi memiliki apa yang disebut sebagai "minor". Minor dari elemen $a_{ij}$ (yaitu elemen yang terletak pada baris ke-$i$ dan kolom ke-$j$) biasanya dituliskan sebagai $M_{ij}$.

Untuk menentukan minor $M_{ij}$, kita perlu menghilangkan (mencoret) seluruh baris ke-$i$ dan seluruh kolom ke-$j$ dari matriks aslinya. Determinan dari sub-matriks yang tersisa inilah yang disebut sebagai minor $M_{ij}$.

Mencari Minor

Misalkan kita memiliki matriks $A$ berordo $3 \times 3$ sebagai berikut:

Jika kita ingin mencari minor dari elemen $a_{22}$ (yaitu $M_{22}$), kita hilangkan baris kedua dan kolom kedua dari matriks $A$:

Bayangkan kita mencoretnya seperti ini:

Matriks yang tersisa setelah pencoretan adalah:

Maka, minor $M_{22}$ adalah determinan dari matriks sisa ini:

Kofaktor Elemen Matriks

Setelah kita memahami apa itu minor, langkah selanjutnya adalah memahami "kofaktor". Kofaktor dari elemen $a_{ij}$, yang biasa dinotasikan sebagai $k_{ij}$ atau $C_{ij}$, dihitung menggunakan minornya dengan rumus:

Bagian $(-1)^{i+j}$ dalam rumus ini menentukan tanda (positif atau negatif) dari kofaktor tersebut. Aturannya sederhana:

• Jika hasil penjumlahan $i+j$ adalah bilangan genap, maka $(-1)^{i+j} = 1$. Ini berarti $k_{ij} = M_{ij}$ (kofaktor sama dengan minornya).
• Jika hasil penjumlahan $i+j$ adalah bilangan ganjil, maka $(-1)^{i+j} = -1$. Ini berarti $k_{ij} = -M_{ij}$ (kofaktor adalah negatif dari minornya).

Untuk matriks $3 \times 3$, pola tanda $(-1)^{i+j}$ akan terlihat seperti ini:

Tanda ini menunjukkan apakah kofaktor akan sama dengan minornya (tanda $+$) atau negatif dari minornya (tanda $-$).

Mencari Kofaktor

Mari kita lanjutkan dengan contoh matriks $A$ dan minor $M_{22}$ yang sudah kita hitung.

Kofaktor untuk elemen $a_{22}$ adalah $k_{22}$.

Karena $i=2$ dan $j=2$, maka $i+j = 2+2 = 4$ (genap).

Sekarang, coba kita cari kofaktor untuk elemen $a_{12}$, yaitu $k_{12}$.

Pertama, kita cari minornya, $M_{12}$, dengan menghilangkan baris pertama dan kolom kedua dari matriks $A$:

Kemudian, kita hitung kofaktornya. Untuk $a_{12}$, $i=1$ dan $j=2$, jadi $i+j = 1+2 = 3$ (ganjil).

Menghitung Determinan dengan Ekspansi Kofaktor

Inti dari metode ekspansi kofaktor adalah menghitung determinan matriks $A$ (dinotasikan $\det(A)$ atau $|A|$) dengan cara memilih satu baris atau satu kolom dari matriks tersebut.

Kemudian, setiap elemen pada baris atau kolom yang dipilih dikalikan dengan kofaktornya masing-masing, dan semua hasil perkalian tersebut dijumlahkan.

Rumus Ekspansi Kofaktor Sepanjang Baris ke-$i$:

Artinya, kita pilih baris ke-$i$. Lalu, untuk setiap kolom $j$ pada baris tersebut, kita kalikan elemen $a_{ij}$ dengan kofaktornya $k_{ij}$, dan jumlahkan semuanya.

Rumus Ekspansi Kofaktor Sepanjang Kolom ke-$j$:

Artinya, kita pilih kolom ke-$j$. Lalu, untuk setiap baris $i$ pada kolom tersebut, kita kalikan elemen $a_{ij}$ dengan kofaktornya $k_{ij}$, dan jumlahkan semuanya.

Kabar baiknya, kamu bisa memilih baris atau kolom mana saja untuk melakukan ekspansi, hasilnya akan selalu sama!

Untuk mempermudah perhitungan, biasanya dipilih baris atau kolom yang memiliki banyak elemen bernilai nol, karena perkalian dengan nol akan menghasilkan nol dan mengurangi jumlah suku yang perlu dihitung.

Contoh Perhitungan Determinan

Mari kita hitung determinan dari matriks $P$ berikut menggunakan metode ekspansi kofaktor:

Kita akan melakukan ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama (yaitu, $i=1$).

Berdasarkan rumus, determinan $P$ adalah:

Dari matriks $P$, elemen-elemen baris pertama adalah:

• $a_{11} = 1$
• $a_{12} = 3$
• $a_{13} = 2$

Sekarang, kita perlu menghitung kofaktor $k_{11}$, $k_{12}$, dan $k_{13}$.

1. Menghitung $k_{11}$ ($i=1, j=1$, maka $i+j=2$, genap):

   $$M_{11} = \det \begin{pmatrix} 6 & 2 \\ 9 & 4 \end{pmatrix} = (6 \times 4) - (2 \times 9) = 24 - 18 = 6$$

   $$k_{11} = (-1)^{1+1} M_{11} = (1)(6) = 6$$

2. Menghitung $k_{12}$ ($i=1, j=2$, maka $i+j=3$, ganjil):

   $$M_{12} = \det \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 5 & 4 \end{pmatrix} = (2 \times 4) - (2 \times 5) = 8 - 10 = -2$$

   $$k_{12} = (-1)^{1+2} M_{12} = (-1)(-2) = 2$$

3. Menghitung $k_{13}$ ($i=1, j=3$, maka $i+j=4$, genap):

   $$M_{13} = \det \begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 5 & 9 \end{pmatrix} = (2 \times 9) - (6 \times 5) = 18 - 30 = -12$$

   $$k_{13} = (-1)^{1+3} M_{13} = (1)(-12) = -12$$

Setelah semua kofaktor didapatkan, kita masukkan kembali ke rumus determinan:

Jadi, determinan dari matriks $P$ adalah $-12$.