Hiperbola

Apa itu Hiperbola?

Kamu pernah lihat bentuk menara pendingin di pembangkit listrik? Atau mungkin pernah memperhatikan bayangan cahaya senter di dinding yang membentuk kurva terbuka? Nah, bentuk-bentuk seperti itu adalah contoh hiperbola dalam kehidupan nyata!

Hiperbola adalah kurva yang terbentuk ketika sebuah bidang memotong kerucut ganda dengan sudut tertentu. Berbeda dengan elips yang membentuk kurva tertutup, hiperbola justru terbentuk dari dua kurva terpisah yang saling berhadapan.

Secara matematis, hiperbola didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik yang selisih absolut jaraknya terhadap dua titik tetap selalu konstan. Kedua titik tetap ini disebut fokus hiperbola. Untuk setiap titik $P$ pada hiperbola, selisih $|PF_1 - PF_2| = 2a$ (konstan), sedangkan di elips jumlah jaraknya yang konstan: $PF_1 + PF_2 = 2a$.

Lihat visualisasi di atas! Hiperbola punya dua cabang yang terpisah. Untuk setiap titik $P$ yang ada di hiperbola, selisih jarak dari $P$ ke kedua fokus $F_1$ dan $F_2$ selalu konstan.

Komponen Hiperbola

Sebelum masuk ke rumus-rumus, yuk kenalan dulu sama bagian-bagian penting dari hiperbola. Setiap komponen ini punya peran tersendiri dalam menentukan bentuk dan sifat hiperbola.

Komponen-komponen hiperbola yang perlu kamu ketahui:

1. Pusat hiperbola adalah titik tengah antara kedua fokus, biasanya dilambangkan dengan $O$.

2. Fokus ($F_1$ dan $F_2$) adalah dua titik tetap yang menjadi acuan definisi hiperbola. Jarak antara kedua fokus disebut jarak fokal.

3. Puncak ($A_1$ dan $A_2$) adalah titik-titik terdekat antara kedua cabang hiperbola. Garis yang menghubungkan kedua puncak disebut sumbu utama.

4. Sumbu utama adalah garis yang melewati pusat dan kedua fokus hiperbola.

5. Asimtot adalah garis-garis yang didekati oleh cabang hiperbola saat menuju tak hingga. Hiperbola tidak pernah menyentuh asimtotnya, tapi semakin jauh dari pusat, kurva semakin mendekati garis asimtot.

Perbedaan utama hiperbola dengan elips: hiperbola punya asimtot dan terdiri dari dua cabang terpisah, sedangkan elips adalah kurva tertutup tanpa asimtot.

Persamaan Hiperbola

Ada beberapa bentuk tergantung orientasi dan posisi pusatnya. Kita akan bahas dua kasus:

Pusat di Titik Asal

Kalau pusat hiperbola ada di $O(0,0)$, ada dua kemungkinan orientasi:

Ketika sumbu utama sejajar dengan sumbu $X$ (horizontal), persamaan hiperbola adalah:

Kalau kita visualisasikan, akan terlihat seperti ini:

Ketika sumbu utama sejajar dengan sumbu $Y$ (vertikal), persamaan hiperbola adalah:

Pusat Berpindah

Kalau pusat hiperbola bukan di titik asal, tapi di titik $(h, k)$, persamaannya menjadi:

Sifat Penting Hiperbola

Ada beberapa hubungan matematika yang selalu berlaku untuk setiap hiperbola:

di mana:

• $a$ adalah jarak dari pusat ke puncak (semi-sumbu utama)
• $b$ adalah konstanta yang menentukan bentuk hiperbola (semi-sumbu konjugat)
• $c$ adalah jarak dari pusat ke fokus

Hubungan ini berbeda dengan elips yang menggunakan $c^2 = a^2 - b^2$.

Eksentrisitas hiperbola didefinisikan sebagai:

Nilai eksentrisitas hiperbola selalu $e > 1$. Ini karena $c > a$ (dari hubungan $c^2 = a^2 + b^2$, maka $c = \sqrt{a^2 + b^2} > a$). Semakin besar nilai $e$, hiperbola semakin "terbuka" atau lebar. Sebagai perbandingan: lingkaran memiliki $e = 0$, elips memiliki $0 < e < 1$, parabola memiliki $e = 1$, dan hiperbola memiliki $e > 1$.

Persamaan asimtot untuk hiperbola dengan pusat di $(0,0)$:

Asimtot adalah "panduan" bagi cabang hiperbola. Semakin jauh dari pusat, kurva hiperbola semakin mendekati garis asimtot, tapi tidak pernah menyentuhnya.

Latihan

1. Tentukan persamaan hiperbola dengan pusat di $(0,0)$, puncak di $(\pm 2, 0)$, dan fokus di $(\pm 3, 0)$.

2. Diketahui hiperbola $\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{9} = 1$. Tentukan koordinat fokus, eksentrisitas, dan persamaan asimtot.

3. Sebuah hiperbola memiliki pusat di $(1, -2)$, sumbu utama horizontal, $a = 3$, dan $b = 4$. Tentukan persamaan hiperbola tersebut.

4. Tentukan persamaan asimtot dari hiperbola $\frac{(y+1)^2}{4} - \frac{(x-2)^2}{9} = 1$.

Kunci Jawaban

1. Penyelesaian:

   Diketahui:

   • Pusat di $(0,0)$
   • Puncak di $(\pm 2, 0)$, jadi $a = 2$
   • Fokus di $(\pm 3, 0)$, jadi $c = 3$
   • Sumbu utama horizontal (karena puncak dan fokus di sumbu $X$)

   Gunakan hubungan $c^2 = a^2 + b^2$:

   $$3^2 = 2^2 + b^2$$

   $$9 = 4 + b^2$$

   $$b^2 = 5$$

   Persamaan hiperbola dengan sumbu utama horizontal:

   $$\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1$$

2. Penyelesaian:

   Dari persamaan $\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{9} = 1$:

   • $a^2 = 25$, jadi $a = 5$
   • $b^2 = 9$, jadi $b = 3$

   Karena bentuk $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$, sumbu utama horizontal.

   Hitung $c$:

   $$c^2 = a^2 + b^2 = 25 + 9 = 34$$

   $$c = \sqrt{34} \approx 5{,}831$$

   Koordinat fokus: $(\pm \sqrt{34}, 0)$

   Eksentrisitas:

   $$e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{34}}{5} \approx \frac{5{,}831}{5} \approx 1{,}166$$

   Persamaan asimtot (sumbu utama horizontal):

   $$y = \pm \frac{b}{a}x = \pm \frac{3}{5}x$$

3. Penyelesaian:

   Diketahui:

   • Pusat: $(h,k) = (1, -2)$
   • Sumbu utama horizontal
   • $a = 3$, jadi $a^2 = 9$
   • $b = 4$, jadi $b^2 = 16$

   Persamaan hiperbola dengan pusat $(h,k)$ dan sumbu utama horizontal:

   $$\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$$

   Substitusi nilai:

   $$\frac{(x-1)^2}{9} - \frac{(y+2)^2}{16} = 1$$

4. Penyelesaian:

   Dari persamaan $\frac{(y+1)^2}{4} - \frac{(x-2)^2}{9} = 1$:

   • Pusat: $(h,k) = (2, -1)$
   • $a^2 = 4$, jadi $a = 2$
   • $b^2 = 9$, jadi $b = 3$
   • Sumbu utama vertikal (karena bentuk $\frac{(y-k)^2}{a^2} - \frac{(x-h)^2}{b^2} = 1$)

   Untuk hiperbola dengan pusat $(h,k)$ dan sumbu utama vertikal, persamaan asimtot:

   $$y - k = \pm \frac{a}{b}(x - h)$$

   Substitusi nilai:

   $$y - (-1) = \pm \frac{2}{3}(x - 2)$$

   $$y + 1 = \pm \frac{2}{3}(x - 2)$$

   $$y = -1 \pm \frac{2}{3}(x - 2)$$

   Jadi persamaan asimtotnya:

   $$y = -1 + \frac{2}{3}(x - 2)$$

   $$y = -1 - \frac{2}{3}(x - 2)$$