Elips

Apa itu Elips?

Pernah lihat bentuk orbit planet yang mengelilingi matahari? Atau bayangan lingkaran ketika kita lihat dari samping? Nah, bentuk-bentuk seperti itu namanya elips! Elips bukan cuma lingkaran yang "gepeng" aja, tapi ada definisi matematika yang keren di baliknya.

Jadi gini, elips itu adalah kumpulan titik-titik yang jumlah jaraknya ke dua titik tertentu selalu sama. Kedua titik tertentu ini namanya fokus. Bayangin aja, kamu punya dua paku dan tali. Kalau tali diikat ke kedua paku, terus kamu tarik pensil sampai tali kencang dan gambar kurva lengkap, maka kurva yang terbentuk itu elips!

Dari visualisasi di atas, coba perhatikan titik $P$. Jarak dari $P$ ke fokus $F_1$ (yang kita sebut $r_1$) ditambah jarak dari $P$ ke fokus $F_2$ (yang kita sebut $r_2$) akan selalu sama untuk semua titik yang ada di elips. Inilah ciri khas elips yang paling dasar!

Komponen Elips

Sebelum kita bahas rumusnya, yuk kenalan dulu sama bagian-bagian penting dalam elips. Tiap bagian ini punya peran masing-masing dalam menentukan bentuk elipsnya.

Nih, komponen-komponen yang perlu kamu tau:

1. Pusat elips adalah titik tengah elips, biasanya kita tulis dengan huruf $O$. Semua pengukuran di elips merujuk ke titik ini.

2. Fokus ($F_1$ dan $F_2$) adalah dua titik tetap yang jadi patokan definisi elips tadi. Jarak antara kedua fokus disebut jarak fokal.

3. Sumbu mayor adalah garis terpanjang yang lewat pusat elips dan kedua fokus. Ujung-ujungnya adalah titik $A_1$ dan $A_2$.

4. Sumbu minor adalah garis terpendek yang lewat pusat elips dan tegak lurus sumbu mayor. Ujung-ujungnya adalah titik $B_1$ dan $B_2$.

5. Semi-mayor ($a$) adalah setengah panjang sumbu mayor, yaitu jarak dari pusat ke ujung sumbu mayor.

6. Semi-minor ($b$) adalah setengah panjang sumbu minor, yaitu jarak dari pusat ke ujung sumbu minor.

Ingat ya, dalam elips selalu berlaku $a > b$. Kalau $a = b$, bentuknya jadi lingkaran!

Persamaan Elips

Nah, sekarang kita masuk ke bagian yang seru: gimana cara nulis elips dalam bentuk persamaan matematika. Ada beberapa bentuk tergantung posisi dan orientasinya.

Pusat di Titik Asal

Kalau pusat elips ada di $O(0,0)$, ada dua kemungkinan orientasi:

Kalau sumbu mayor sejajar sumbu $X$ (horizontal), persamaan elipsnya:

dengan syarat $a > b$.

Kalau sumbu mayor sejajar sumbu $Y$ (vertikal), persamaan elipsnya:

dengan syarat $a > b$.

Pusat Berpindah

Kalau pusat elips bukan di titik asal, tapi di titik $(h, k)$, persamaannya jadi:

Visualisasi:

Hubungan Penting

Ada rumus yang selalu berlaku untuk setiap elips:

di mana $c$ adalah jarak dari pusat ke fokus.

Eksentrisitas elips didefinisikan sebagai:

Nilai eksentrisitas elips selalu $0 < e < 1$. Makin mendekati $0$, elips makin bulat seperti lingkaran. Makin mendekati $1$, elips makin pipih.

Latihan

1. Tentukan persamaan elips dengan pusat di $(0,0)$, sumbu mayor sepanjang $12$ dan sumbu minor sepanjang $8$, dengan sumbu mayor horizontal.

2. Diketahui elips $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$. Tentukan koordinat fokus dan eksentrisitas elips tersebut.

3. Sebuah elips memiliki pusat di $(3, -1)$, fokus di $(3, 2)$ dan $(3, -4)$, serta panjang sumbu minor $6$. Tentukan persamaan elips tersebut.

4. Tentukan persamaan elips yang melalui titik $(4, 3)$ dan $(6, 2)$ dengan pusat di $(0, 0)$ dan sumbu mayor horizontal.

Kunci Jawaban

1. Penyelesaian:

   Diketahui:

   • Pusat di $(0,0)$
   • Panjang sumbu mayor = $12$, jadi $2a = 12$, maka $a = 6$
   • Panjang sumbu minor = $8$, jadi $2b = 8$, maka $b = 4$
   • Sumbu mayor horizontal

   Persamaan elips dengan sumbu mayor horizontal:

   $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$

   Substitusi nilai $a = 6$ dan $b = 4$:

   $$\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{16} = 1$$

2. Penyelesaian:

   Dari persamaan $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$:

   • $a^2 = 25$, jadi $a = 5$
   • $b^2 = 16$, jadi $b = 4$

   Karena $a^2 > b^2$, sumbu mayor horizontal.

   Hitung $c$:

   $$c^2 = a^2 - b^2 = 25 - 16 = 9$$

   $$c = 3$$

   Koordinat fokus: $(\pm 3, 0)$ yaitu $(-3, 0)$ dan $(3, 0)$

   Eksentrisitas:

   $$e = \frac{c}{a} = \frac{3}{5} = 0{,}6$$

3. Penyelesaian:

   Diketahui:

   • Pusat: $(3, -1)$
   • Fokus: $(3, 2)$ dan $(3, -4)$
   • Panjang sumbu minor = $6$, jadi $2b = 6$, maka $b = 3$

   Karena fokus punya koordinat $x$ yang sama ($x = 3$), sumbu mayor vertikal.

   $$\text{Jarak antar fokus} = |2 - (-4)| = 6$$

   jadi $2c = 6$, maka $c = 3$

   Hitung $a$:

   $$c^2 = a^2 - b^2$$

   $$9 = a^2 - 9$$

   $$a^2 = 18$$

   $$a = 3\sqrt{2}$$

   Persamaan elips dengan pusat $(h,k) = (3,-1)$ dan sumbu mayor vertikal:

   $$\frac{(x-3)^2}{9} + \frac{(y+1)^2}{18} = 1$$

4. Penyelesaian:

   Elips dengan pusat $(0,0)$ dan sumbu mayor horizontal punya persamaan:

   $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$

   Substitusi titik $(4,3)$:

   $$\frac{16}{a^2} + \frac{9}{b^2} = 1 \quad \text{...(1)}$$

   Substitusi titik $(6,2)$:

   $$\frac{36}{a^2} + \frac{4}{b^2} = 1 \quad \text{...(2)}$$

   Misalkan $u = \frac{1}{a^2}$ dan $v = \frac{1}{b^2}$, maka:

   $$16u + 9v = 1 \quad \text{...(1)}$$

   $$36u + 4v = 1 \quad \text{...(2)}$$

   Dari persamaan (1): $v = \frac{1-16u}{9}$

   Substitusi ke persamaan (2):

   $$36u + 4 \cdot \frac{1-16u}{9} = 1$$

   $$36u + \frac{4-64u}{9} = 1$$

   $$324u + 4 - 64u = 9$$

   $$260u = 5$$

   $$u = \frac{1}{52}$$

   Maka $a^2 = 52$

   Substitusi kembali:

   $$v = \frac{1-16 \cdot \frac{1}{52}}{9} = \frac{1-\frac{16}{52}}{9} = \frac{\frac{36}{52}}{9} = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$$

   Maka $b^2 = 13$

   Persamaan elips: $\frac{x^2}{52} + \frac{y^2}{13} = 1$