Sudut Pusat pada Busur

Pengertian Sudut Pusat

Sudut pusat adalah sudut yang dibentuk oleh dua jari-jari lingkaran dengan titik sudutnya berada di pusat lingkaran. Bayangkan seperti potongan pizza, dimana ujung pizza yang runcing berada tepat di tengah lingkaran. Kedua sisi sudut pusat ini adalah jari-jari yang menghubungkan pusat lingkaran ke tepi lingkaran.

Dalam lingkaran dengan pusat O, jika kita memiliki titik A dan B pada keliling lingkaran, maka $\angle AOB$ adalah sudut pusat. Sudut ini menghadap busur AB yang merupakan bagian keliling lingkaran antara titik A dan B.

Hubungan Sudut Pusat dengan Busur

Hubungan fundamental antara sudut pusat dan busur yang dihadapinya sangat sederhana namun penting. Besar sudut pusat dalam derajat sama dengan besar busur yang dihadapinya dalam derajat. Ini seperti hubungan langsung antara pembuka botol dan tutup botol yang dibuka.

Jika sudut pusat $\angle AOB = 60°$, maka busur AB juga berukuran $60°$. Konsep ini berlaku karena busur didefinisikan berdasarkan sudut pusat yang menghadapinya.

Jenis Busur Berdasarkan Sudut Pusat

Berdasarkan besar sudut pusatnya, busur dapat dibedakan menjadi tiga jenis:

Busur Minor

Busur minor adalah busur yang dihadapi oleh sudut pusat kurang dari $180°$. Ini adalah busur yang lebih pendek dari setengah lingkaran. Seperti potongan kue yang lebih kecil dari setengah kue utuh.

Busur Setengah Lingkaran

Busur setengah lingkaran dihadapi oleh sudut pusat tepat $180°$. Sudut pusat ini dibentuk oleh diameter lingkaran, sehingga busurnya adalah setengah keliling lingkaran.

Busur Mayor

Busur mayor adalah busur yang dihadapi oleh sudut pusat lebih dari $180°$. Ini adalah busur yang lebih panjang dari setengah lingkaran. Untuk menghitung besar busur mayor, kita menggunakan:

Perhitungan Panjang Busur

Panjang busur dapat dihitung menggunakan perbandingan antara sudut pusat dengan sudut penuh lingkaran. Rumus dasar untuk menghitung panjang busur adalah:

Dimana:

• $s$ = panjang busur
• $\theta$ = besar sudut pusat dalam derajat
• $r$ = jari-jari lingkaran

Jika sudut pusat dinyatakan dalam radian, rumusnya menjadi lebih sederhana:

Dimana $\theta$ dalam radian.

Contoh Penerapan

Mari kita terapkan konsep ini dalam contoh konkret. Misalkan kita memiliki lingkaran dengan jari-jari $r = 6 \text{ cm}$ dan sudut pusat $\theta = 120°$.

Langkah pertama, kita hitung panjang busur:

Jadi panjang busur yang dihadapi sudut pusat $120°$ adalah $4\pi \text{ cm}$ atau sekitar $12.57 \text{ cm}$.

Aplikasi dalam Kehidupan Sehari-hari

Konsep sudut pusat pada busur memiliki banyak aplikasi praktis. Dalam desain roda gigi, sudut pusat menentukan jarak antar gigi. Pada jam analog, jarum jam bergerak membentuk sudut pusat yang menunjukkan waktu. Arsitek menggunakan konsep ini untuk merancang lengkungan jembatan atau kubah bangunan.

Dalam navigasi, pilot pesawat menggunakan konsep busur lingkaran untuk menghitung jarak tempuh saat terbang mengikuti jalur melengkung di permukaan bumi. Semakin besar sudut pusat yang dilalui, semakin jauh jarak yang ditempuh.

Latihan

1. Sebuah lingkaran memiliki jari-jari 8 cm. Jika sudut pusat yang menghadap suatu busur adalah 45°, hitunglah panjang busur tersebut.

2. Diketahui panjang busur suatu lingkaran adalah 10π cm dan jari-jarinya 15 cm. Tentukan besar sudut pusat yang menghadap busur tersebut.

3. Dalam sebuah lingkaran dengan pusat O, terdapat sudut pusat $\angle AOB = 72°$. Jika jari-jari lingkaran adalah 5 cm, tentukan panjang busur AB dan nyatakan hasilnya dalam bentuk π.

4. Sebuah roda sepeda memiliki jari-jari 30 cm. Jika roda tersebut berputar sehingga membentuk sudut pusat 150°, berapa jarak yang ditempuh oleh titik pada tepi roda?

Kunci Jawaban

1. Penyelesaian:

   Diketahui: $r = 8 \text{ cm}$ dan $\theta = 45°$

   Ditanya: Panjang busur $s$

   Langkah 1: Gunakan rumus panjang busur

   $$s = \frac{\theta}{360°} \times 2\pi r$$

   Langkah 2: Substitusi nilai yang diketahui

   $$s = \frac{45°}{360°} \times 2\pi \times 8$$

   Langkah 3: Sederhanakan pecahan

   $$s = \frac{1}{8} \times 16\pi$$

   Langkah 4: Hitung hasil akhir

   $$s = 2\pi \text{ cm}$$

   Jadi, panjang busur tersebut adalah $2\pi \text{ cm}$ atau sekitar 6,28 cm.

2. Penyelesaian:

   Diketahui: $s = 10\pi \text{ cm}$ dan $r = 15 \text{ cm}$

   Ditanya: Besar sudut pusat $\theta$

   Langkah 1: Gunakan rumus panjang busur

   $$s = \frac{\theta}{360°} \times 2\pi r$$

   Langkah 2: Substitusi nilai yang diketahui

   $$10\pi = \frac{\theta}{360°} \times 2\pi \times 15$$

   Langkah 3: Sederhanakan persamaan

   $$10\pi = \frac{\theta \times 30\pi}{360°}$$

   Langkah 4: Isolasi θ

   $$\theta = \frac{10\pi \times 360°}{30\pi}$$

   Langkah 5: Hitung hasil akhir

   $$\theta = \frac{3600°}{30} = 120°$$

   Jadi, besar sudut pusat yang menghadap busur tersebut adalah 120°.

3. Penyelesaian:

   Diketahui: $\angle AOB = 72°$ dan $r = 5 \text{ cm}$

   Ditanya: Panjang busur AB

   Langkah 1: Gunakan rumus panjang busur

   $$s = \frac{\theta}{360°} \times 2\pi r$$

   Langkah 2: Substitusi nilai yang diketahui

   $$s = \frac{72°}{360°} \times 2\pi \times 5$$

   Langkah 3: Sederhanakan pecahan

   $$s = \frac{72°}{360°} \times 10\pi = \frac{1}{5} \times 10\pi$$

   Langkah 4: Hitung hasil akhir

   $$s = 2\pi \text{ cm}$$

   Jadi, panjang busur AB adalah $2\pi \text{ cm}$.

4. Penyelesaian:

   Diketahui: $r = 30 \text{ cm}$ dan $\theta = 150°$

   Ditanya: Jarak yang ditempuh (panjang busur)

   Langkah 1: Gunakan rumus panjang busur

   $$s = \frac{\theta}{360°} \times 2\pi r$$

   Langkah 2: Substitusi nilai yang diketahui

   $$s = \frac{150°}{360°} \times 2\pi \times 30$$

   Langkah 3: Sederhanakan pecahan

   $$s = \frac{150°}{360°} \times 60\pi = \frac{5}{12} \times 60\pi$$

   Langkah 4: Hitung hasil akhir

   $$s = 25\pi \text{ cm}$$

   Jadi, jarak yang ditempuh oleh titik pada tepi roda adalah $25\pi \text{ cm}$ atau sekitar 78,54 cm.