Busur Lingkaran

Hubungan Busur dengan Tali Busur

Setiap busur lingkaran memiliki hubungan erat dengan tali busur yang menghubungkan kedua ujungnya. Tali busur adalah garis lurus yang menghubungkan dua titik ujung busur, sedangkan busur adalah jalur melengkung di sepanjang keliling lingkaran. Bayangkan seperti busur panah, dimana tali adalah garis lurus dan busur adalah lengkungan kayu.

Hubungan ini sangat penting dalam berbagai aplikasi teknik dan arsitektur. Semakin panjang busur, semakin panjang pula tali busur yang menghubungkannya, namun hubungan ini tidak bersifat linear.

Rumus Panjang Tali Busur

Panjang tali busur dapat dihitung menggunakan rumus trigonometri yang melibatkan sudut pusat dan jari-jari lingkaran:

Dimana:

• $c$ = panjang tali busur
• $r$ = jari-jari lingkaran
• $\theta$ = sudut pusat dalam radian

Rumus ini sangat berguna dalam perhitungan teknik, terutama dalam desain struktur lengkung dan analisis kekuatan material.

Tinggi Busur dan Sagita

Tinggi busur atau sagita adalah jarak tegak lurus dari titik tengah tali busur ke titik tertinggi busur. Konsep ini sangat penting dalam desain jembatan lengkung dan struktur arsitektur.

Dimana:

• $h$ = tinggi busur (sagita)
• $r$ = jari-jari lingkaran
• $\theta$ = sudut pusat dalam radian

Perhatikan visualisasi berikut:

Busur dalam Sistem Koordinat

Dalam sistem koordinat Cartesian, busur dapat direpresentasikan menggunakan persamaan parametrik:

Dimana $t$ adalah parameter yang bervariasi dari sudut awal hingga sudut akhir busur.

Contoh Perhitungan Teknik

Mari kita terapkan konsep ini dalam perhitungan teknik. Misalkan kita merancang jembatan lengkung dengan jari-jari 25 meter dan sudut pusat 120°.

Menghitung panjang tali busur:

Menghitung tinggi busur:

Latihan

1. Sebuah jembatan lengkung memiliki jari-jari 30 meter dan sudut pusat 90°. Hitunglah panjang tali busur dan tinggi busur jembatan tersebut.

2. Dalam desain kubah masjid, diketahui tinggi busur adalah 8 meter dan jari-jari lingkaran adalah 15 meter. Tentukan sudut pusat busur tersebut.

3. Sebuah busur lingkaran memiliki panjang tali busur 24 meter dan jari-jari 15 meter. Hitunglah sudut pusat dan tinggi busur.

4. Dalam sistem koordinat, sebuah busur dimulai dari titik (4, 0) dan berakhir di titik (0, 4) pada lingkaran dengan pusat di origin. Tentukan persamaan parametrik busur tersebut.

Kunci Jawaban

1. Penyelesaian:

   Diketahui: $r = 30 \text{ m}$ dan $\theta = 90°$

   Panjang tali busur:

   $$c = 2r \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = 2 \times 30 \times \sin(45°)$$

   $$c = 60 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 30\sqrt{2} \text{ m} \approx 42.43 \text{ m}$$

   Tinggi busur:

   $$h = r\left(1 - \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\right) = 30\left(1 - \cos(45°)\right)$$

   $$h = 30\left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \approx 8.79 \text{ m}$$

2. Penyelesaian:

   Diketahui: $h = 8 \text{ m}$ dan $r = 15 \text{ m}$

   Langkah 1: Gunakan rumus tinggi busur

   $$8 = 15\left(1 - \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)$$

   Langkah 2: Isolasi cos

   $$\frac{8}{15} = 1 - \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)$$

   $$\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = 1 - \frac{8}{15} = \frac{7}{15}$$

   Langkah 3: Hitung sudut

   $$\frac{\theta}{2} = \arccos\left(\frac{7}{15}\right) \approx 62.18°$$

   $$\theta \approx 124.36°$$

3. Penyelesaian:

   Diketahui: $c = 24 \text{ m}$ dan $r = 15 \text{ m}$

   Langkah 1: Gunakan rumus tali busur

   $$24 = 2 \times 15 \times \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)$$

   $$\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{24}{30} = 0.8$$

   Langkah 2: Hitung sudut pusat

   $$\frac{\theta}{2} = \arcsin(0.8) \approx 53.13°$$

   $$\theta \approx 106.26°$$

   Langkah 3: Hitung tinggi busur

   $$h = 15\left(1 - \cos(53.13°)\right) = 15(1 - 0.6) = 6 \text{ m}$$

4. Penyelesaian:

   • Titik awal: (4, 0) → $t_1 = 0°$
   • Titik akhir: (0, 4) → $t_2 = 90°$
   • Jari-jari: $r = 4$

   Persamaan parametrik:

   $$x = 4\cos(t)$$

   $$y = 4\sin(t)$$

   $$0° \leq t \leq 90°$$