Kombinasi

Pengertian Kombinasi

Bayangkan kamu diminta memilih 3 orang teman untuk bergabung dalam tim futsal. Apakah urutan pemilihan mereka penting? Tentu tidak! Yang penting adalah siapa saja yang terpilih, bukan dalam urutan apa mereka dipilih.

Inilah perbedaan mendasar antara kombinasi dan permutasi. Kombinasi adalah cara memilih sejumlah objek dari kumpulan objek yang lebih besar, dimana urutan tidak diperhatikan.

Dalam kehidupan sehari-hari, kombinasi sering kita temui ketika:

• Memilih menu makanan dari daftar pilihan
• Menentukan anggota tim untuk suatu kegiatan
• Memilih mata pelajaran elective di sekolah
• Menentukan kombinasi warna untuk desain

Perbedaan dengan permutasi sangat jelas: jika dalam permutasi ABC berbeda dengan BAC, maka dalam kombinasi ABC sama dengan BAC karena anggotanya sama, hanya urutannya berbeda.

Rumus Kombinasi

Untuk menentukan banyaknya cara memilih $k$ objek dari $n$ objek yang tersedia, kita menggunakan rumus kombinasi:

Dimana:

• $C(n,k)$ atau $\binom{n}{k}$ = kombinasi $k$ objek dari $n$ objek
• $n$ = total objek yang tersedia
• $k$ = banyaknya objek yang dipilih
• $n!$ = faktorial dari $n$

Mengapa rumus ini berbeda dari permutasi?

Rumus kombinasi sebenarnya berasal dari rumus permutasi yang dibagi dengan $k!$:

Pembagian dengan $k!$ dilakukan karena dalam kombinasi, kita tidak peduli urutan. Setiap kelompok $k$ objek memiliki $k!$ cara pengaturan yang berbeda, tetapi semuanya dianggap sama dalam kombinasi.

Penerapan dalam Situasi Nyata

Pembentukan Tim Olahraga:

Dari 10 siswa yang tersedia, berapa cara memilih 5 siswa untuk tim basket?

Pemilihan Menu Makanan:

Sebuah restoran menawarkan 8 jenis makanan dan kamu boleh memilih 3 jenis. Berapa banyak kombinasi pilihan yang mungkin?

Situasi dengan Syarat Khusus:

Kadang-kadang ada pembatasan tertentu dalam pemilihan. Misalnya, dari 12 siswa (7 laki-laki dan 5 perempuan), kita harus memilih 4 siswa dengan syarat minimal 2 perempuan.

Strategi penyelesaian:

1. Hitung semua kemungkinan yang memenuhi syarat
2. Pisahkan berdasarkan kondisi: 2 perempuan + 2 laki-laki, 3 perempuan + 1 laki-laki, atau 4 perempuan
3. Jumlahkan semua kemungkinan

Perhitungan detail:

Kasus 1: 2 perempuan + 2 laki-laki

Kasus 2: 3 perempuan + 1 laki-laki

Kasus 3: 4 perempuan + 0 laki-laki

Total: $210 + 70 + 5 = 285$ cara

Latihan

1. Dari 8 buku yang berbeda, berapa cara memilih 3 buku untuk dibaca selama liburan?

2. Sebuah tim futsal memiliki 12 pemain. Berapa cara memilih 5 pemain untuk bermain di lapangan?

3. Dalam sebuah kotak terdapat 6 bola merah dan 4 bola biru. Berapa cara mengambil 5 bola dengan syarat minimal 3 bola merah?

4. Seorang siswa harus memilih 4 mata pelajaran dari 10 mata pelajaran yang tersedia. Jika 6 mata pelajaran adalah wajib dan 4 mata pelajaran adalah pilihan, berapa cara memilih jika harus ada minimal 2 mata pelajaran wajib?

Kunci Jawaban

1. Jawaban: 56 cara

   Langkah penyelesaian:

   Diketahui: $n = 8$ buku, dipilih $k = 3$ buku

   Rumus kombinasi:

   $$C(n,k) = \frac{n!}{(n-k)! \times k!}$$

   $$C(8,3) = \frac{8!}{5! \times 3!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = \frac{336}{6} = 56$$

   Jadi, ada 56 cara memilih 3 buku dari 8 buku yang tersedia.

2. Jawaban: 792 cara

   Langkah penyelesaian:

   Diketahui: $n = 12$ pemain, dipilih $k = 5$ pemain

   Rumus kombinasi:

   $$C(12,5) = \frac{12!}{7! \times 5!}$$

   $$C(12,5) = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{95.040}{120} = 792$$

   Tim futsal dapat memilih 5 pemain dari 12 pemain dengan 792 cara berbeda.

3. Jawaban: 186 cara

   Langkah penyelesaian (metode kasus):

   Total bola: 6 merah + 4 biru = 10 bola

   Ambil 5 bola dengan minimal 3 bola merah

   Rincian perhitungan setiap kasus:

   Kasus 1: 3 merah + 2 biru

   $$C(6,3) \times C(4,2) = \frac{6!}{3! \times 3!} \times \frac{4!}{2! \times 2!}$$

   $$= \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 20 \times 6 = 120$$

   Kasus 2: 4 merah + 1 biru

   $$C(6,4) \times C(4,1) = \frac{6!}{2! \times 4!} \times \frac{4!}{3! \times 1!}$$

   $$= \frac{6 \times 5}{2 \times 1} \times 4 = 15 \times 4 = 60$$

   Kasus 3: 5 merah + 0 biru

   $$C(6,5) \times C(4,0) = \frac{6!}{1! \times 5!} \times \frac{4!}{4! \times 0!}$$

   $$= 6 \times 1 = 6$$

   Total: $120 + 60 + 6 = 186$

   Ada 186 cara mengambil 5 bola dengan minimal 3 bola merah.

4. Jawaban: 185 cara

   Langkah penyelesaian (metode kasus):

   Mata pelajaran wajib: 6, mata pelajaran pilihan: 4

   Pilih 4 mata pelajaran dengan minimal 2 wajib

   Rincian perhitungan setiap kasus:

   Kasus 1: 2 wajib + 2 pilihan

   $$C(6,2) \times C(4,2) = \frac{6!}{4! \times 2!} \times \frac{4!}{2! \times 2!}$$

   $$= \frac{6 \times 5}{2 \times 1} \times \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 15 \times 6 = 90$$

   Kasus 2: 3 wajib + 1 pilihan

   $$C(6,3) \times C(4,1) = \frac{6!}{3! \times 3!} \times \frac{4!}{3! \times 1!}$$

   $$= \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} \times 4 = 20 \times 4 = 80$$

   Kasus 3: 4 wajib + 0 pilihan

   $$C(6,4) \times C(4,0) = \frac{6!}{2! \times 4!} \times \frac{4!}{4! \times 0!}$$

   $$= \frac{6 \times 5}{2 \times 1} \times 1 = 15 \times 1 = 15$$

   Total: $90 + 80 + 15 = 185$

   Ada 185 cara memilih mata pelajaran dengan syarat yang diberikan.