Kombinasi

Pengertian Kombinasi

Bayangkan kamu diminta memilih $3 \text{ orang}$ teman untuk bergabung dalam tim futsal. Apakah urutan pemilihan mereka penting? Tentu tidak! Yang penting adalah siapa saja yang terpilih, bukan dalam urutan apa mereka dipilih.

Inilah perbedaan mendasar antara kombinasi dan permutasi. Kombinasi adalah cara memilih sejumlah objek dari kumpulan objek yang lebih besar, dimana urutan tidak diperhatikan.

Dalam kehidupan sehari-hari, kombinasi sering kita temui ketika:

• Memilih menu makanan dari daftar pilihan
• Menentukan anggota tim untuk suatu kegiatan
• Memilih mata pelajaran elective di sekolah
• Menentukan kombinasi warna untuk desain

Perbedaan dengan permutasi sangat jelas: jika dalam permutasi $ABC$ berbeda dengan $BAC$, maka dalam kombinasi $ABC$ sama dengan $BAC$ karena anggotanya sama, hanya urutannya berbeda.

Rumus Kombinasi

Untuk menentukan banyaknya cara memilih $k$ objek dari $n$ objek yang tersedia, kita menggunakan rumus kombinasi:

Dimana:

• $C(n,k)$ atau $\binom{n}{k}$ berarti kombinasi $k$ objek dari $n$ objek
• $n$ adalah total objek yang tersedia
• $k$ adalah banyaknya objek yang dipilih
• $n!$ adalah faktorial dari $n$

Mengapa rumus ini berbeda dari permutasi?

Rumus kombinasi sebenarnya berasal dari rumus permutasi yang dibagi dengan $k!$:

Pembagian dengan $k!$ dilakukan karena dalam kombinasi, kita tidak peduli urutan. Setiap kelompok $k$ objek memiliki $k! \text{ cara}$ pengaturan yang berbeda, tetapi semuanya dianggap sama dalam kombinasi.

Penerapan dalam Situasi Nyata

Pembentukan Tim Olahraga:

Dari $10 \text{ siswa}$ yang tersedia, berapa cara memilih $5 \text{ siswa}$ untuk tim basket?

Pemilihan Menu Makanan:

Sebuah restoran menawarkan $8$ jenis makanan dan kamu boleh memilih $3$ jenis. Berapa banyak kombinasi pilihan yang mungkin?

Situasi dengan Syarat Khusus:

Kadang-kadang ada pembatasan tertentu dalam pemilihan. Misalnya, dari $12 \text{ siswa}$ ($7 \text{ laki-laki}$ dan $5 \text{ perempuan}$), kita harus memilih $4 \text{ siswa}$ dengan syarat minimal $2 \text{ perempuan}$.

Strategi penyelesaian:

1. Hitung semua kemungkinan yang memenuhi syarat
2. Pisahkan berdasarkan kondisi: $2 \text{ perempuan} + 2 \text{ laki-laki}$, $3 \text{ perempuan} + 1 \text{ laki-laki}$, atau $4 \text{ perempuan}$
3. Jumlahkan semua kemungkinan

Perhitungan detail:

Kasus $1$: $2 \text{ perempuan} + 2 \text{ laki-laki}$

Kasus $2$: $3 \text{ perempuan} + 1 \text{ laki-laki}$

Kasus $3$: $4 \text{ perempuan} + 0 \text{ laki-laki}$

Total: $210 + 70 + 5 = 285$ cara

Latihan

1. Dari $8 \text{ buku}$ yang berbeda, berapa cara memilih $3 \text{ buku}$ untuk dibaca selama liburan?

2. Sebuah tim futsal memiliki $12 \text{ pemain}$. Berapa cara memilih $5 \text{ pemain}$ untuk bermain di lapangan?

3. Dalam sebuah kotak terdapat $6 \text{ bola}$ merah dan $4 \text{ bola}$ biru. Berapa cara mengambil $5 \text{ bola}$ dengan syarat minimal $3 \text{ bola}$ merah?

4. Seorang siswa harus memilih $4 \text{ mata pelajaran}$ dari $10 \text{ mata pelajaran}$ yang tersedia. Jika $6 \text{ mata pelajaran}$ adalah wajib dan $4 \text{ mata pelajaran}$ adalah pilihan, berapa cara memilih jika harus ada minimal $2 \text{ mata pelajaran wajib}$?

Kunci Jawaban

1. Jawaban: $56 \text{ cara}$

   Langkah penyelesaian:

   Diketahui: $n = 8$ buku, dipilih $k = 3$ buku

   Rumus kombinasi:

   $$C(n,k) = \frac{n!}{(n-k)! \times k!}$$

   $$C(8,3) = \frac{8!}{5! \times 3!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = \frac{336}{6} = 56$$

   Jadi, ada $56 \text{ cara}$ memilih $3 \text{ buku}$ dari $8 \text{ buku}$ yang tersedia.

2. Jawaban: $792 \text{ cara}$

   Langkah penyelesaian:

   Diketahui: $n = 12$ pemain, dipilih $k = 5$ pemain

   Rumus kombinasi:

   $$C(12,5) = \frac{12!}{7! \times 5!}$$

   $$C(12,5) = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{95.040}{120} = 792$$

   Tim futsal dapat memilih $5 \text{ pemain}$ dari $12 \text{ pemain}$ dengan $792 \text{ cara}$ berbeda.

3. Jawaban: $186 \text{ cara}$

   Langkah penyelesaian (metode kasus):

   Total bola: $6 \text{ merah} + 4 \text{ biru}$ adalah $10 \text{ bola}$

   Ambil $5 \text{ bola}$ dengan minimal $3 \text{ bola}$ merah

   Rincian perhitungan setiap kasus:

   Kasus $1$: $3 \text{ merah} + 2 \text{ biru}$

   $$C(6,3) \times C(4,2) = \frac{6!}{3! \times 3!} \times \frac{4!}{2! \times 2!}$$

   $$= \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 20 \times 6 = 120$$

   Kasus $2$: $4 \text{ merah} + 1 \text{ biru}$

   $$C(6,4) \times C(4,1) = \frac{6!}{2! \times 4!} \times \frac{4!}{3! \times 1!}$$

   $$= \frac{6 \times 5}{2 \times 1} \times 4 = 15 \times 4 = 60$$

   Kasus $3$: $5 \text{ merah} + 0 \text{ biru}$

   $$C(6,5) \times C(4,0) = \frac{6!}{1! \times 5!} \times \frac{4!}{4! \times 0!}$$

   $$= 6 \times 1 = 6$$

   Total: $120 + 60 + 6 = 186$

   Ada $186 \text{ cara}$ mengambil $5 \text{ bola}$ dengan minimal $3 \text{ bola}$ merah.

4. Jawaban: $185 \text{ cara}$

   Langkah penyelesaian (metode kasus):

   Mata pelajaran wajib: $6$, mata pelajaran pilihan: $4$

   Pilih $4 \text{ mata pelajaran}$ dengan minimal $2 \text{ wajib}$

   Rincian perhitungan setiap kasus:

   Kasus $1$: $2 \text{ wajib} + 2 \text{ pilihan}$

   $$C(6,2) \times C(4,2) = \frac{6!}{4! \times 2!} \times \frac{4!}{2! \times 2!}$$

   $$= \frac{6 \times 5}{2 \times 1} \times \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 15 \times 6 = 90$$

   Kasus $2$: $3 \text{ wajib} + 1 \text{ pilihan}$

   $$C(6,3) \times C(4,1) = \frac{6!}{3! \times 3!} \times \frac{4!}{3! \times 1!}$$

   $$= \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} \times 4 = 20 \times 4 = 80$$

   Kasus $3$: $4 \text{ wajib} + 0 \text{ pilihan}$

   $$C(6,4) \times C(4,0) = \frac{6!}{2! \times 4!} \times \frac{4!}{4! \times 0!}$$

   $$= \frac{6 \times 5}{2 \times 1} \times 1 = 15 \times 1 = 15$$

   Total: $90 + 80 + 15 = 185$

   Ada $185 \text{ cara}$ memilih mata pelajaran dengan syarat yang diberikan.